Giải Toán 11 Kết nối tri thức: Bài 2: Công thức lượng giác

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác  ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 17:

Hoạt động 1: Nhận biết công thức cộng

a) Cho a = π/4 và b = π/6, hãy chứng tỏ cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

b) Bằng cách viết a + b = cosa −(− b ) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b)

c) Bằng cách viết sin(a − b) = cos[π/2 − (a − b)] = cos[(π/2 − a) + b] và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a − b)

Lời giải:

a) Ta có:

 a – b = π/4−π/6 

          = π/12 

nên cos(a – b) = cosπ/12

                        = (√6+√2)/4
cos a cos b + sin a sin b = cosπ/4cosπ/6 +sinπ/4sinπ/6 

                                        = √2/2 × √3/2 + √2/2 × 1/2 

                                        = √6/4 + √2/4
Vậy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b.

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a  (– sin b)

= cos a cos b – sin a sin b.

c) sin(a – b) = cos[π/2 − (a − b)] 

                    = cos[(π/2 − a) + b]
                    = cos(π/2 − a)cosb − sin(π/2 − a)sinb 

                    = sinacosb − cosasinb          (do cos(π/2−a) = sina, sin(π/2 − a) = cosa.

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Giải Toán 11 trang 18:

Luyện tập 1:  Chứng minh rằng:

a) sinx − cosx = √2sin(x − π/4)
b) tan(π/4 − x) = 1− tanx/1 + tanx       (x ≠ π/2 + kπ,x ≠ 3π/4 + kπ,k∈Z)

Lời giải:

a)  sinx – cosx = √2sin(x − π/4) 

                        = √2(sinxcosπ/4 − cosxsinπ/4)

                        = √2sinx × √2/2 −√2cosx × √2/2 

                        = sinx − cosx 
b) tan(π/4 − x) = tanπ/4 − tanx/1 + tanπ/4tanx

                        =1−tanx/1 + tanx (do tanπ/4 = 1)  (x ≠ π/2 + kπ,x ≠ 3π/4 + kπ,k∈Z)

 Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

 f(t) = f₁(t) + f₂(t)  

      = 5sint + 5cost

      = 5(sint + cost)

      = 5√2sin(t + π/4)

 => k = 5√2, φ = π/4

Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin2a, cos2a, tan2a

Lời giải:
sin2a = sin(a + a)

          = sinacosa + cosasina

          = 2sinacosa
cos2a = cos(a + a)

           = cosacosa − sinasina

           = cos2a − sin2a

           = 2cos2a − 1 

           =1 − 2sin2a
tan2a = tan(a + a)

          = tana + tana / 1 − tanatana

          = 2tana /1 − tan²a

Giải Toán 11 trang 19:

Luyện tập 2: Không dùng máy tính, tính cosπ/8

Lời giải:
              cos²π/8 = (1 + cosπ/4)/2

                            = (1+√2/2)/2

                            = (2 − √2)/4                        

           => cosπ/8 = √(2+√2)/2

Hoạt động 3: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a − b), hãy tìm cosacosb; sinasinb

b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a − b), hãy tìm: sinacosb

Lời giải:

a) Ta có: cos(a − b) − cos(a + b) = cosa.cosb + sina.sinb − (cosa.cosb − .sinb)

                                                    = cos(a − b) − cos(a + b) 

     =>  sina.sinb = 1/2[cos(a + b) − cos(a + b)]  

Ta có: cos(a − b) + cos(a + b) = cosa.cosb + sina.sinb + (cosa.cosb − sina.sinb) 

                                                = cos(a−b)+cos(a+b) 

=>   cosa.cosb = 1/2[cos(a + b) + cos(a + b)] 

b) sin(a − b) + sin(a + b) = sina.cosb − cosa.sinb + sina.cosb + cosa.sinb 

                                       = 2sina.cosb

=>  sina.cosb = 1/2[sin(a − b) + sin(a + b)]

Luyện tập 3: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thúc:

A = cos75^∘cos15^∘
B= sin5π/12.cos7π/12

Lời giải:

A = cos75^∘cos15^∘

    = 1/2[cos(75^∘ − 15^∘) + cos(75^∘ + 15^∘)] 

   = 1/2(cos60^∘ + cos90^∘) 

   = 1/2(1/2 + 0)

   = 1/4
B = sin5π/12.cos7π/12

   = 1/2[sin(5π/12 − 7π/12) + sin(5π/12 + 7π/12)] 

   = 1/2[sin( −π/6) + sinπ] 

   = 1/2(−1/2 + 0) 

   = −1/4

Giải Toán 11 trang 20:

Hoạt động 4: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a − b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Lời giải:

Ta có: u = a − b;   v = a + b

      => u + v = 2a;   => a = (u + v)/2
      => u − v = 2b;   => b = ( u − v)/2 

=> cosu + cosv = 2 cos(u + v)/2.cos(u − v)/2 

=> cosu − cosv = −2sin(u + v)/2.cos(u − v)/2 

=> sinu − sinv = 2sin(u + v)/2.cos(u − v)/2 

=> sinu + sinv = 2cos(u + v)/2.sin(u − v)/2 

Luyện tập 4: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

B = cosπ/9 + cos5π/9 + cos11π/9

Lời giải:

B = cosπ/9 + cos5π/9 + cos11π/9 = 2cos[(π/9 + 5π/9)/2].cos[(π/9 − 5π/9)/2] + cos11π/9 

                                                       = 2cosπ/3.cos(−2π/9) + cos11π/9 

                                                       = 2 .12cos(−2π/9) + cos11π/9 

                                                       = cos(−2π/9) + cos11π/9 

                                                       = 2cos(−2π/9 + 11π/9)/2.cos(− 2π/9 − 11π/9)/2

                                                       = 2cosπ/2.cos(−13π/18)

                                                       = 2 . 0 . cos(−13π/18)

                                                       = 0