Giải Toán 11 Kết nối tri thức: Bài 3: Hàm số lượng giác

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 3: Hàm  lượng giác  ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 22

Hoạt động 1: Hoàn thành bảng sau:

Lời giải: Hoàn thành bảng giá trị:

Giải Toán 11 trang 23

Luyện tập 1: Tìm tập xác định của hàm số y = 1/sinx

Lời giải:

Hàm số y = 1/sinx có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ Z).

Vậy tập xác định của hàm số y = 1/sinx là  R\ {kπ | k ∈ Z}.

Hoạt động 2: Cho hai hàm số f(a) = x² và g(x) = x³, với các đồ thị như hình dưới đây

a) Tìm các tập xác định D1, Dg của các hàm số f(x) và g(x)

b) Chứng tỏ rằng f(−x) = f(x), ∀x ∈ D_g. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = g(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Lời giải:

a) Biểu thức x² và x³ luôn có nghĩa với mọi x ∈ R

=> Tập xác định của hàm số f(x) = x² là D_f = R 

=> Tập xác định của hàm số g(x) = x³ là D_g = R

b) ∀ x ∈ D_f, ta luôn có f(–x) = (–x)² = x² = f(x). 

=>    f(– x) =  f(x), ∀ x ∈ D_f.

Từ hình vẽ ta có:  đồ thị hàm số f(x) = x² đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c)        ∀ x ∈ D_g ta luôn có g(–x) = (–x)³ = –x³ = –g(x).

          Vậy g(– x) = – g(x), ∀ x ∈ D_g.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số g(x) = x³ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Giải Toán 11 trang 24 

Luyện tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g(x) = 1/x

Lời giải:

 Biểu thức 1/x có nghĩa khi x ≠ 0.

 => tập xác định của hàm số g(x) = 1/x là D = R \ {0}.

 Khi  x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

                   g(– x) = 1/−x= −1/x  = – g(x), ∀ x ∈ D.

 Vậy g(x)= 1/x là hàm số lẻ.

Hoạt động 3: So sánh:

a) sin(x + 2π) và sin x;

b) cos(x + 2π) và cos x;

c) tan(x + π) và tan x;

d) cot(x + π) và cot x.

Lời giải:

a) Ta có: 

                sin(x + 2π) = sin[π + (x + π)] 

                                  = – sin(x + π) 

                                  = – sin(π + x) 

                                  = – (– sin x) = sin x.

           => sin(x + 2π) = sinx  với mọi x ∈ R

 
b) Ta có: 

               cos(x + 2π) = cos[π + (x + π)] 

                                  = – cos(x + π) 

                                  = – (– cos x) 

                                  = cos x.

         => cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ R

c)  Ta có: 

               tan(x + π) = tan(π + x) 

                                = tan x.

          => tan(x + π) = tanx với mọi x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

d) Ta có:

             cot(x + π) = cot(π + x) 

                              = cot x.

         =>cot(x + π) = cotx với mọi x ≠ π/2 + kπ, k∈Z

Câu hỏi : Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

Lời giải:

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có tập xác định D =  .

Với T ≠ 0 sao cho mọi x ∈ D, ta luôn có:

  a) x + T ∈ D và x – T ∈ D;
  b) f(x + T) = c = f(x).       (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng c).

=> hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.

Giải Toán 11 trang 25

Luyện tập 3: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan 2x.

Lời giải:

Biểu thức tan 2x có nghĩa khi 2x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z.

                                            => x ≠ π/4 + kπ/2, k ∈ Z.

=> hàm số y = tan 2x có tập xác định là D = R \ {π/4 + kπ/2 |k ∈ Z}

Với mọi số thực x, ta có:

   x − π/2 ∈ D, x + π/2 ∈ D
  tan2 (x + π/2) = tan (2x + π)

                        = tan 2x
Vậy y = tan 2x là hàm số tuần hoàn.

Hoạt động 4: Cho hàm số y = sin x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của sin x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sin x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; sin x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = sin x. 

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = sin x có tập xác định là D = R.

Khi  x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

             f(– x) = sin (– x) = – sin x = – f(x), ∀ x ∈ D.

=>            y = sin x là hàm số lẻ.

b) Hoàn thành bảng giá trị:

c) Hàm số y = sinx có: -  tập xác định là R

                                     - tập giá trị là [-1;1] 

                                     - đồng biến trên mỗi khoảng(−π/2 + k2π; π/2 + k2π)

                                     - nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 + k2π; 3π/2 + k2π), k ∈ Z.

Giải Toán 11 trang 26

Luyện tập 4: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sin x.

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x ∈ R.

=>   2.(–1) ≤ 2sinx ≤ 2.1 

<=>     – 2 ≤ 2sin x ≤ 2      với mọi x ∈ R.

Vậy hàm số y = 2sin x có tập giá trị là T = [– 2; 2].

Vận dụng 1: Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra xảy ra khi v < 0.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?

Lời giải:

a) Chu ký hô hấp: T = 2π/ω = 2π/π3 = 6 (s)

Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là 60/6 = 10 (chu kì).

b) Ta có: v = 0,85sinπt/3

      i) v < 0 khi 0.85sinπt/3 > 0

          <=>  sinπt/3 > 0

Mà  −1 ≤ sinπt/3 ≤ 1  với mọi x ∈ R.

 Vậy, 0 < sinπt/3 ≤ 1 

      ii) v < 0 khi 0.85sinπt/3 < 0

         <=> sinπt/3<0 

Mà  – 1 ≤ sinπt/3 ≤ 1 với mọi x ∈ R.

Vậy, −1 ≤ sinπt/3 < 0

Với t ∈ (0; 3) ta có 0 < sinπt/3 ≤ 1

Với t ∈ (3; 5] ta có −1 ≤ sinπt/3 < 0

Vậy: trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào

        trong  khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

Hoạt động 5: Cho hàm số y = cos x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cos x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cos x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = R.

Khi x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

               f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b)

c) Hàm số y = x có: -  tập xác định là R

                                     - tập giá trị là [-1;1]

                                     - đồng biến trên mỗi khoảng(−π + k2π;  k2π)

                                     - nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), k ∈ Z.

Giải toán 11 trang 27 

Luyện tập 5: Tìm tập giá trị của hàm số y = – 3cos x.

Lời giải: 

Ta có:    – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ R.

=>   (–3).(–1) ≥ –3cosx ≥ (–3).1 

<=>         – 3 ≤ – 3cos x ≤ 3 với mọi x ∈ R.

Vậy hàm số y = – 3cos x có tập giá trị là [– 3; 3].

Vận dụng 2: Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), ωt + φ là pha của dao động tại thời điểm t và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kì T = 2π/ω (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = – 5cos 4πt (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Lời giải:

a)   Phương trình x(t) = – 5cos 4πt (cm)

                                  =  5cos(4πt + π).(cm)

Vậy, biên độ dao động A = 5;  pha ban đầu φ = π. 

b) Pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây) là ωt + φ = 4π . 2 + π = 9π.

Dao động điều hòa có chu kì: T = 2π/ω 

                                                   = 2π/4π 

                                                   = 1/2

                                                   = 0.5

Khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần là 0,5 giây. 

Trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được 2 / 0,5 = 4 dao động toàn phần.

Giải Toán 11 trang 28

Hoạt động 6:  Cho hàm số y = tan x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = tan x trên khoảng (−π/2; π/2)

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; tan x) với x ∈ (−π/2; π/2) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng (−π/2; π/2) 

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = tan x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số y = tan x.

Lời giải:

a)   Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là D = R \ {π/2 + kπ |k ∈ Z}.

 Khi  x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

                      f(– x) = tan (– x) = – tan x = – f(x), ∀ x ∈ D.

 Vậy y = tan x là hàm số lẻ.

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số y = tan x.

c)  Hàm số y = tan x có:

                                       +) Tập giá trị là R \ {π/2 + kπ |k ∈ Z}.

                                       +) Đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + kπ; π/2 + kπ), k ∈ Z (do đồ thị hàm số đi lên từ trái                                                sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 11 trang 29 

Luyện tập 6: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [− π; 3π/2] để hàm số y = tan x nhận giá trị âm.

Lời giải:

   Khi đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành thì hàm số y = tan x nhận giá trị âm.  

   Từ đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16 ta thấy trên đoạn [− π; 3π/2] thì y < 0 khi x ∈ (− π/2; 0)∪(π/2; π).

Hoạt động 7:  Cho hàm số y = cot x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cot x) với x ∈ (0; π) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y =

cot x như hình dưới đây.

Lời giải:

a)    Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D = R\ {kπ |k ∈ Z}.

 Khi x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

                    f(– x) = cot (– x) = – cot x = – f(x), ∀ x ∈ D.

 Vậy y = cot x là hàm số lẻ.

b) Hoàn thành bảng giá trị:

c) Hàm số y = tan x có:

                                     +) Tập giá trị là R\ {kπ |k ∈ Z}.

                                    +) Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z (do đồ thị hàm số đi lên từ phải sang                                               trái trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 11 trang 30

Luyện tập 7: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [−π/2; 2π] để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Lời giải:

Khi đồ thị ở trên trục hoành thì hàm số y = cot x nhận giá trị dương

Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn [−π/2; 2π]  thì y > 0 khi x ∈ (0; − π/2)∪(π; 3π/2)