Bài 5: Dãy số

Hướng dẫn Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số ngắn gọn kèm lời giải và đáp án chi tiết bám sát nội dung chương trình Sách mới.

Giải Toán 11 trang 42

Hoạt động 1: Nhận biết dãy số vô hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Lời giải:

Năm số chính phương theo thứ tự tăng dần là: 0, 1, 4, 9, 16.

Số chính phương thứ nhất là là u₁ = 0² = 0

Số chính phương thứ hai là u₂ = 1² = 1

Số chính phương thứ ba là u₃ = 2² = 4

Số chính phương thứ tư là u₄ = 3² = 9

Số chính phương thứ năm là u₅ = 4² = 16

Dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n = (n − 1)² với n ∈ N*.

Giải Toán 11 Trang 43

Hoạt động 2: Nhận biết dãy số hữu hạn

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng u_n của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n

Lời giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 theo thứ tự từ bé tới lớn : 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49

b) u_n = (n − 1)² với n ∈ N* và n ≤ 8.

Luyện tập 1: 

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của

dãy số

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của

dãy số hữu hạn này.

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n + 1 (n ∈ N*)

b) Dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là:  6; 11; 16; 21; 26

Số hạng đầu của dãy số này là 6

Số hạng cuối của dãy số này  26

Hoạt động 3: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n − 1 của dãy số

Lời giải:

a) Công thức số hạng tổng quát u_n = 5n, n ∈ N^∗.

b) Số hạng đầu của dãy số là: 5

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n − 1 của dãy số là:  u_n = u_{n − 1} + 5 (n ∈ *, n > 1). Gọi là hệ thức  hồi.

Giải Toán 11 trang 44:

Luyện tập 2: 

 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n!

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n! là: 1, 2, 6, 24, 120

b) F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 1 + 1 = 2, F4 = 2 + 1 = 3, F5 = 3 + 2 = 5

Giải Toán 11 trang 45

Hoạt động 4: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n − 1. Tính u_n+1 và so sánh với u_n

b) Xét dãy số (v_n) với v_n = 1/n². Tính v_n+1 và so sánh với v_n

Lời giải:

a) u_n+1 = 3(n + 1) − 1 = 3n + 2

Xét hiệu u_n+1 − u_n ta có: u_n+1 − u_n = (3n + 2) − (3n − 1) = 3 > 0 

                              =>  u_n+1 > u_n ∀ n ∈ *.

b) v_n+1 = 1/(n + 1)²

Xét hiệu v_n+1 − v_n ta có: v_n+1 − v_n = 1/(n+1)² − 1/n²

                                                                       = n² − (n + 1)²/n²(n + 1)²

                                                     = n² − (n² + 2n + 1)/n²(n+1)²

                                                     = − (2n + 1)/n²(n + 1)² < 0 ∀ (n ∈ ℕ*).

                          => v_n+1 < v_n  ∀ n ∈ ℕ*

Luyện tập 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), với u_n = 1/(n + 1)

Lời giải:

Ta có: u_{n + 1} = 1/(n + 1 + 1 ) = 1/(n + 2)

 Mà: n + 2 > n + 1 nên 1/(n + 1) > 1/(n + 2) ∀ n ∈ N*.

 Có nghĩa là:  u_n > u_{n + 1}, ∀ n ∈ N*

Vậy (u_n) là dãy số giảm

Hoạt động 5: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số (u_n) với u_n = (n + 1)/n, ∀ n ∈ N*

a) So sánh u_n và 1

b) So sánh u_n và 2

Lời giải:

a) Ta có:   u_n = (n + 1)/n

                     = 1 + 1/n > 1, ∀ n ∈ N*

b) Ta có:  1/n ≤ 1, ∀ n ∈ N* 

        <=> 1 + 1/n ≤ 2, ∀ n ∈ N*

=> u_n = (n + 1)/n = 1 + 1/n < 2, ∀ n ∈ N*

Giải Toán 11 trang 46

Luyện tập 4: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n), với u_n = 2n − 1

Lời giải :

Dãy số bị chặn dưới vì u_n = 2n − 1 > 1, ∀ n ∈ N*

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

                                  u_n = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ N*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ, được m kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi s_n (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: s₁ = 200, s_n = s_n−1 + 25 với n ≥ 2

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (s_n) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Lời giải :

a) Số hạng tổng quát của dãy số là: s_n = 200 + 25(n − 1) 

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty: s₅ = 200 + 25(5 − 1) = 300 (triệu đồng)

b) Ta có: s_n+1 = 200 + 25(n + 1 − 1) 

                     = 200 + 25n > s_n với mọi n ≥ 2, n ∈ N*. 

Vậy (sn) là dãy số tăng

Ý nghĩa: Tiền lương của anh Thành sẽ được tăng dần theo mỗi năm làm .