Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Câu trả lời chính xác nhất: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn:

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Để hiểu rõ hơn về tiếp tuyến đường tròn hãy cùng Top lời giải tham khảo qua bài viết dưới đây nhé!

1. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

>>> Xem thêm: Cách chứng minh tiếp tuyến?

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

>>> Xem thêm: Tiếp tuyến là gì?

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm là A, ta có thể làm theo cách sau:

Cách 1. Chứng minh OA⊥d tại A và A∈(O).

Cách 2. Vẽ OH⊥d. Chứng minh OH≡OA=R.

Cách 3. Vẽ tiếp tuyến d′ của (O). Ta chứng minh d≡d′.

Dạng 2: Bài toán tính độ dài

Phương pháp:

Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Lời giải:

Ta có: BC đi qua điểm H thuộc đường tròn (A; AH)

BC ⊥ AH tại H

⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)

Bài 2: Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng.

Lời giải:

Ta có:

MA = MO = MB (do cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

Xét tam giác MAB có: MA = MB

Do đó, tam giác MAB cân tại M 

Xét tam giác MOB có:

MO = MB

Do đó, tam giác MOB cân tại M

Từ (1) và (2) ta có: 

Mặt khác ta có:

Từ (3) và (4) ta có: 

 => AB ⊥ BO tại B

Mà B nằm trên đường tròn (O), do đó, AB là tiếp tuyến của (O) tại B

Ta có:

MA = MO = MC (do cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

Xét tam giác MAC có:

MA = MC

Do đó, tam giác MAC cân tại M  

Xét tam giác MOC có:

MO = MC

Do đó, tam giác MOC cân tại M => 

Từ (5) và (6) ta có: 

Mặt khác ta có: 

Từ (7) và (8) ta có: 

=> AC ⊥ CO tại C

Mà C nằm trên đường tròn (O), do đó, AC là tiếp tuyến của (O) tại C.

Vậy cách dựng ở phần lý thuyết là đúng.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

Ta có: AB² + AC² = 32 + 42 = 25

BC² = 52 = 25

Nên AB² + AC² = BC²

=> tam giác ABC vuông tại A hay AC ⊥ BA.

Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA đi qua điểm A nên AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Lời giải:

a)

Gọi H là giao điểm của OC và AB

Xét đường tròn (O) có

OH ⊥ AB tại H mà OH là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn

Do đó, H là trung điểm của AB (do đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

=> HA = HB = ½ AB

Mà ta lại có: OC ⊥ AB tại H, do đó, OC là đường trung trực của AB

=> CB = CA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác CBO và tam giác CAO có:

CO chung

CA = CB (chứng minh trên)

OB = OA = R (do B, A nằm trên đường tròn (O))

Do đó, tam giác CBO và tam giác CAO bằng nhau theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có:

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

Do đó, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

b)

Ta có: OA = OB = R = 15cm

Xét tam giác HOA vuông tại H (do OC ⊥ AB tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OA² = OH² + HA²

=> OH² = OA² - HA² = 152 - 122 = 81

Xét tam giác BOC vuông tại B (do CB vuông góc với OB tại B – chứng minh phần a) có đường cao BH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB² = OC. OH

-------------------------

Trên đây Top lời giải đã cùng các bạn tìm hiểu dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có thông tin hữu ích khi đọc bài viết này, chúc các bạn học tốt.