Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải hệ pt bằng phương pháp thế là một phương pháp áp dụng cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Thế nên, chúng ta cần hiểu qua về khái niệm chung của hệ phương trình, phương trình bậc nhất hai ẩn là thế nào đã nhé.

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu thức của phương trình bậc nhất hai ẩn được viết như sau: ax + by = c với a,b,c ⊂ R (a² + b² # 0). Trong phương trình bậc nhất hai ẩn, tập nghiệm của nó luôn là có vô số nghiệm. Tập nghiệm được biểu thị bằng đường thẳng (d): ax + by = c.

Chúng ta cũng có 3 trường hợp sau:

+ Nếu a # 0 và b # 0: đường thẳng d có đồ thị hàm số là y = – a/b + c/b

+ Nếu a # 0 và b = 0, phương trình hiển nhiên sẽ trở thành ax + 0 = c, tức là ax = 0 hay x = c/a và lúc này, đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung.

+ Nếu a = 0 và b # 0, thì phương trình bậc nhất hai ẩn trở thành 0 + by = c, tức là by = c, suy ra c = b/y. Lúc này, đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành.

Đó là ba trường hợp biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn mà các em cần lưu ý. Mỗi trường hợp sẽ có cách minh họa tập nghiệm của phương trình khác nhau.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Chúng ta đã hiểu phương trình bậc nhất một ẩn được viết như thế nào rồi, thì ở đây sẽ có công thức như sau:

Trong đó, a, b, c, a’, b’, c’ ⊂ R.

Khác với việc minh họa tập nghiệm của phương trình, hệ phương trình được minh họa như sau. Chúng ta sẽ có 2 đường thẳng (d) và (d’) cho 2 phương trình bậc nhất ax + by = c và a’x + b’y = c. Lúc này, cũng có 3 trường hợp xảy ra:

+ (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm

+ (d) cắt (d’) thì hệ có một nghiệm duy nhất

+ (d) trùng (d’) thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

Nếu các hệ phương trình có cùng tập hợp nghiệm thì lúc này chúng ta có hệ phương trình tương đương. Việc phương trình tương đương cũng chính tỏ các hệ phương trình đó có cùng tập hợp nghiệm. Đây là kết quả 2 chiều.

>>> Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

2. Cách giải phương trình bằng phương pháp thế

a. Định nghĩa về phương pháp thế

Quy tắc thế

Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:

+ Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

+ Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Chú ý:

+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Tóm tắt cách giải:

    + Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

    + Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Chú ý: Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Phương pháp giải:

Rút x từ phương trình trên x−y=3 rồi thế vào phương trình còn lại. Giải hệ phương trình mới thu được ta tìm được nghiệm (x;y)

Lời giải chi tiết:

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)=(10;7)

3. Một số phương pháp giải hệ phương trình thường gặp

a. Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

+ Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1.

b. Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Phương pháp:

+ Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

+ Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

c. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Một số kiến thức thường sử dụng

+) Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x₀;y₀) ⇔ax₀ + by₀ = c.

4. Bài tập vận dụng về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn:

Làm theo thứ tự các bước

+ Bước 1: Từ phương trình (1), ta rút x theo y, ta được x = y + 3 (*). Lấy kết quả này thế vào chỗ của x trong phương trình (2) ta được: 3(y + 3) - 4y = 2

+ Bước 2: Sử dụng phương trình (*) và phương trình mới khi thế , ta được hệ phương trình như sau:

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (x; y) = (10; 7).

Bài 2: Giải hệ phương trình sau

Hướng dẫn:

Làm gộp các bước với nhau

Ta có

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 2).

Bài 3: Cho hệ phương trình với tham số a 

Giải và biện luận hệ này

Hướng dẫn:

Ta có:

Do phương trình 0x = 1 vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm

>>> Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

---------------------------

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào, qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.