Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai bao gồm đầy đủ lý thuyết kèm theo một số dạng bài tập có đáp án. Tài liệu được Toploigiai biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, mời các bạn cùng theo dõi tại đây nhé.

1. Định nghĩa về căn thức bậc hai

- Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi √A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

- √A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0

- Hằng đẳng thức √(A²) = |A|

2. So sánh các căn bậc hai số học

Nhắc lại với các em là:

- Nếu a < b thì √a < √b với a, b không âm.

- Nếu √a < √b thì a < b với a, b không âm.

Ta sẽ áp dụng định lí sau để so sánh các căn bậc hai số học.

Định lí:

Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ √a < √b

Ví dụ: So sánh các căn bậc hai số học

a) 4 và √15

Đầu tiên ta viết 4 = √16 và so sánh √16 và √15.

Vì 16 > 15 nên √16 > √15. Vậy 4 > √15.

b) √11 và 3

Vì 11 > 9 nên √11 > √9. Vậy √11 > 3.

>>> Xem thêm: Hướng dẫn so sánh căn bậc hai hay nhất

3. Tìm điều kiện để √A có nghĩa

Phương pháp giải

+ √A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

+ 1/√A có nghĩa ⇔ A > 0

Ví dụ: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

Hướng dẫn giải:

4. Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức 

Giải:

Ta có:

5. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

a. Biến đổi biểu thức

- Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

- Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

b. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

c. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích a.b ≥ 0

6. Tại sao số âm không có căn bậc hai

Trong toán học, căn bậc hai của một số a là một số x sao cho x2 = a, hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì = a. Ví dụ, 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 42 = (−4)2 = 16.

Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai số học, ký hiệu √a, ở đây √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc hai số học của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì 32 = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm.

Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là ± √a (xem dấu ±). Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi "căn bậc hai" thường đề cập đến căn bậc hai số học. Đối với số dương, căn bậc hai số học cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là a1/2.

7. Bài tập vận dụng bổ sung kiến thức về căn thức bậc hai

Bài 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

a) 16            b) 0             

c) 0,25         d) 4/9

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì 4² = 16 và (-4)² = 16   

Căn bậc hai số học của 16 là  4

b) Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0² = 0

Căn bậc hai số học của 0 là 0.

c) Căn bậc hai của 0,25 là 0,5 và –0,5 vì 0,5² = 0,25 và (-0,5)² = 0,25 

Căn bậc hai số học của 0,25 là  0,5

d) Căn bậc hai của 

Căn bậc hai số học của 4/9 là ⅔

Bài 2: Tìm x không âm, biết:

a) √x > 2

Vì 2 = √4, nên √x > √4.

Vì x ≥ 0 nên √x > √4  ⇔ x > 4.

Vậy x > 4.

b) √x < 3

Ta biết 3 = √9 nên √x < √9.

Vì x ≥ 0 nên √x < √9  ⇔ x < 9.

Vậy 0 ≤ x < 9

c) √(2x) < 4

Ta có 4 = √16 nên √2x < √16.

Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8.

Vậy 0 ≤ x < 8.

Bài 3: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400

Lời giải:

- Ta có: √121 = 11 vì 11 > 0 và 11 = 121 nên

Căn bậc hai số học của 121 là 11. Căn bậc hai của 121 là 11 và – 11.

- Tương tự:

+ Căn bậc hai số học của 144 là 12. Căn bậc hai của 144 là 12 và -12.

+ Căn bậc hai số học của 169 là 13. Căn bậc hai của 169 là 13 và -13.

+ Căn bậc hai số học của 225 là 15. Căn bậc hai của 225 là 15 và -15.

+ Căn bậc hai số học của 256 là 16. Căn bậc hai của 256 là 16 và -16.

+ Căn bậc hai số học của 324 là 18. Căn bậc hai của 324 là 18 và -18.

+ Căn bậc hai số học của 361 là 19. Căn bậc hai của 361 là 19 và -19

+ Căn bậc hai số học của 400 là 20. Căn bậc hai của 400 là 20 và -20

Bài 4: Tìm điều kiện để căn có nghĩa  

 Lời giải:

thì 3x - 1 < 0( do mẫu số phải khác 0 nên 3x - 1 ≠ 0 ) 

3x - 1 < 0 

⇔ 3x < 1 

⇔ x < ⅓

Vậy x < ⅓  thì căn có nghĩa

b) Ta có 

Xét x² - 2x + 4

= x² - 2x + 1 + 3 

= (x² - 1) + 3 ≥ 3 > 0 với mọi x ∈ R 

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của 

Lời giải:

Ta có: 

x² - 6x + 13 = x² - 2.x.3 + 9 + 4

= x² - 2.x.3 + 3² + 4

= (x - 3)² + 4  

Vì (x - 3)² ≥ 0

⇔ (x - 3)² + 4 ≥ 0 + 4

⇔ (x - 3)² + 4 ≥ 4 > 0 Với ∀x ∈ R

Căn luôn có nghĩa

Mặt khác:

   

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 

Vậy giá trị nhỏ nhất của căn bằng 2 khi x = 3

>>> Xem thêm: Các dạng bài tập rút gọn biểu thức lớp 9

--------------------

Trên đây, chúng ta đã vừa học Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và cách giải các dạng bài liên quan đến bài rút gọn biểu thức chứa căn. Đây là những dạng bài có trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán nên các em cần ôn luyện cẩn thận. Bước rút gọn là quan trọng nhất vì nếu sai bước này dẫn tới sai cả những câu sau. Vì thế, khi rút gọn ta đặc biệt cẩn thận làm từng bước.Chúc các em học tốt!