Phương trình Parabol và Các dạng toán parabol (chi tiết, hay nhất)

Tổng hợp kiến thức về Phương trình Parabol và Các dạng toán parabol đầy đủ, hay nhất. Giúp các em tư duy và vận dụng được kiến thức đã học về parabol. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Định nghĩa đường Parabol

Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol (hay parabol).

Điểm F được gọi là  tiêu điểm  của parabol.

Đường thẳng  được gọi là  đường chuẩn của parabol.

Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu  của parabol.

Ta có thể vẽ parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn  như sau (h. 93) : Lấy một êke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên , lấy đầu bút chì ép sát sợi dây rồi cho cạnh AC của êke trượt trên . Khi đó đầu M của bút chì sẽ vạch nên một phần của parabol (vì ta luôn có MF = MA).

2. Phương trình Parabol

a. Phương trình tổng quát

Phương trình Parabol được biểu diễn như sau: y=a²+bx+c

Hoành độ của đỉnh là –b/2a

Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: (b²−4ac)/4a 

b. Phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng:

y₂=2px (p>0)

3. Các dạng toán parabol lớp 9

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng

Phương pháp giải

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai, tìm hoành độ giao điểm.

Bước 3: Tìm tung độ giao điểm (nếu có).

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1:Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng y = 2x - 1.

Đáp án C

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = mx2 và đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 3 , với m là tham số (m ≠ 0, m ≠ -1). Tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là:

Đáp án: B

Dạng 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và Parabol

Để xét vị trí tương đối giữa parabol (P): y = ax² và đường thẳng (d): y = kx + b, ta lập phương trình  ax² = kx + b hay ax² - kx - b = 0 (*). Số nghiệm của phương trình này chính là số điểm chung của hai đồ thị.

Ta có bảng sau đây:

Ví dụ: Cho parabol (P): y = ax² và đường thẳng d: y = kx + 3

a, Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18)

b, Từ kết quả của câu a, hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P) và (d).

Lời giải

a, Từ giả thiết suy ra điểm A(3; 18) thuộc (P) và (d), do đó ta có:

18 = 9a và 18 = 3k + 3

=> a = 2 và k = 5

Vậy a = 2 và k = 5.

b, Ta có hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

x1 chính là hoành độ điểm A, với x2 = -1/2 ta có y2 = 2.(-1/2)2 = 1/2

Vậy giao điểm thứ hai của (P) và (d) là B(-1/2; 1/2)

Dạng 3: Parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm

Phương pháp giải

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

Bước 3: Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu  hay a.n < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu hay a.n > 0

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số y = ax² (a > 0) tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung với mọi m?

Đáp án B

Xem thêm: >>> Cách vẽ parabol đẹp và nhanh

-----------------------------

Trên đây Toploigiai đã tổng hợp Các dạng toán parabol lớp 9 bao gồm cả phương pháp giải và ví dụ minh họa rất chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn khi làm các bài tập về đường Parabol. Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi!