Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Với Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 

a) Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

* Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax+by=c

Trong đó a,b,ca,b,c  là những số cho trước a≠0  hoặc b≠0

- Nếu các số thực x₀,y₀ thỏa mãn ax+by=c thì cặp số (x₀,y₀) được gọi là nghiệm của phương trình ax+by=c

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0,y0) của phương trình ax+by=c được biểu diễn bới điểm có tọa độ (x0,y0)

* Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d:ax+by=c.

2. Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn. Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho.

a) Phương pháp thế

- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong dó có phương trình một ẩn.

- Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

b) Phương pháp cộng đại số

- Nhân hai vế của mối phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau.

- Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn.

- Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

Chú ý: Với trường hợp a';b';c'≠0

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 

Hướng dẫn:

Giải bằng phương pháp thế.

Chú ý: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.

Ta có: (2) ⇔ y = 8 - 2x.

Thay vào (1) ta được: 3x - 2(8 - 2x) = 5 ⇔ 7x - 16 = 5 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3.

Với x = 3 thì y = 8 – 2.3 = 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3;2).

>>> Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

3. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.

Bước 3. Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Hướng dẫn giải:

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y. (Điều kiện: x > y; x, y ∈ N^∗)

Theo giả thiết tổng hai số bằng 1006 nên: x + y = 1006

Vì số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên ta được: x = 2y + 124 (với y>124)

Ta có hệ phương trình: 

4. Bài tập vận dụng bổ sung kiến thức về phương trình

Bài 1: Trong các cặp số (−2;1), (0;2), (−1;0), (1,5;3) và (4;−3), cặp số nào là nghiệm của phương trình:

a) 5x+4y=8?                  

b) 3x+5y=−3?

Hướng dẫn giải:

a) +) Xét cặp số (−2; 1). Thay x=−2;y=1vào phương trình 5x+4y=8 ta được 

⇒(−2;1)⇒(−2;1) không là nghiệm của phương trình 5x+4y=8.

+) Xét cặp số (0; 2). Thay x=0;y=2 vào phương trình 5x+4y=8 ta được

⇒(0;2) là nghiệm của phương trình 5x+4y=8.

+) Xét cặp số (−1; 0). Thay x=−1;y=0 vào phương trình 5x+4y=8 ta được

⇒(−1;0)⇒(−1;0) không là nghiệm của phương trình 5x+4y=8

+) Xét cặp số (1,5; 3). Thay x=1,5;y=3 vào phương trình 5x+4y=8 ta được

⇒(1,5;3) không là nghiệm của phương trình 5x+4y=8.

+) Xét cặp số (4; −3). Thay x=4;y=−3 vào phương trình 5x+4y=8 ta được

⇒(4;−3) là nghiệm của phương trình 5x+4y=8

Vậy có hai cặp số (0;2) và (4;−3) là nghiệm của phương trình 5x+4y=8

b) +) Xét cặp số (−2; 1). Thay x=−2;y=1 vào phương trình 3x+5y=−3 ta được

⇒(−2;1) không là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3

+) Xét cặp số (0; 2). Thay x=0;y=2 vào phương trình 3x+5y=−3 ta được

⇒(0;2)không là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3 .

+) Xét cặp số (−1; 0). Thay x=−1;y=0 vào phương trình 3x+5y=−3 ta được

⇒(−1;0) là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3

+) Xét cặp số (1,5; 3). Thay x=1,5;y=3 vào phương trình 3x+5y=−3 ta được

⇒(1,5;3) không là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3

+) Xét cặp số (4; −3). Thay x=4;y=−3 vào phương trình 3x+5y=−3 ta được

⇒(4;−3)là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3

Vậy có hai cặp số (−1;0) và (4;−3) là nghiệm của phương trình 3x+5y=−3

Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 140m. Ba lần chiều rộng lớn hơn chiều dài là 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn giải:

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ( x>0;y>0;x,y tính bằng m). Chu vi là 140m, nên ta có phương trình :

2(x+y)=140⇔x+y=70

 Ba lần chiều rộng lớn hơn chiều dài 10m, nên ta có phương trình :

3y–x=10

Vậy, ta có hệ :

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là 50m và 20m.

Bài 3: Tìm m để hai đường thẳng ( d1) : 3x+my=3 và ( d2) : mx+3y=3 song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

⇔(9−m2)y=9−3m(∗)

Hệ vô nghiệm ⇒⇒ Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hai đường thẳng song song ⇒m = -3.

Bài 4: 

Hướng dẫn giải:

Từ (2) ⇒y=−mx−3. Thế y vào phương trình (1), ta được :

3x−2(−mx−3)=6

⇔x(3+2m)=0(∗)

Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có vô số nghiệm

⇔3+2m=0⇔m=−3/2

Chú ý : Có thể xét điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 5: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm :

Hướng dẫn giải:

Từ (1) ⇔x=1–my.Thế x vào phương trình (2), ta được :

m(1−my)−3my=2m+3

⇔−(m2+3m)y=m+3(∗)

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm

>>> Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và Bài tập trắc nghiệm

--------------------

Trên đây là tổng hợp kiến thức của Toploigiai về Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Qua bài viết này, mong rằng các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình thật nhiều kiến thức và học tập thật tốt nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi và đọc bài viết!