Quy tắc khai phương một thương

Quy tắc khai phương một thương rất quan trọng trong dạng bài tập thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức, giải phương trình chứa căn thức bậc hai, vì thế các em cần đọc và nắm được cách áp dụng.

1. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

a. Định lí 

Với số a không âm và số b dương ta có:

b. Quy tắc khai phương một thương 

Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

2. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có 

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có 

>>> Xem thêm: Hướng dẫn so sánh căn bậc hai hay nhất

3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 

a. Định lí: 

Với hai số a và b không âm, ta có: √a.b = √a . √b

a và b không âm tức a ≥ 0 và b ≥ 0. 

Lưu ý: 

- Với hai biểu thức không âm A và B ta cũng có √(A.B) = √A.√B

- Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết được đẳng thức trên (vì khi đó không thỏa điều kiện căn bậc hai). 

* Ví dụ: √(-3)-(-5) được xác định nhưng √(-3).√(-5) không xác định nên không có đẳng thức trên

b.  Quy tắc khai phương một tích

• Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau. 

- Mở rộng: Với các số a, b, c không âm ta có: √a.√b.√c = √a.b.c

Ví dụ:

c. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

+ Mở rộng: Với các số a,b,c không âm ta có: √a.√b.√c = √a.b.c

+ Với biểu thức A không âm, ta có: (√A)²= √A² =A

Ví dụ: 

d. Dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có:  √A.B = √A.√B

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: √A.B = √A.√B

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp:

Sử dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương để đưa phương trình đã cho về các dạng quen thuộc

4. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

Bài 2: Tính:

Giải:

Phân tích: Câu a, ta thực hiện khai phương một thương, ta tính căn bậc hai của tử và tính căn bậc hai của mẫu rồi chia các kết quả thu được.

Câu b, ta thực hiện đổi số thập phân thành phân số rồi thực hiện khai phương phân số (thương).

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 4: 

a) So sánh √(25+9) và √25+√9

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh √a+b < √a + √b.

Giải:

a) Tính √25 + √9 rồi so sánh kết quả với √25+9.

Trả lời: √25+9 < √25 + √9.

b) Ta có: (√a+b)² = a + b và

             (√a + b)² = √a² + 2√a.√b + √b²

                           = a + b + 2√a.√b.

Vì a > 0, b > 0 nên √a.√b > 0.

Do đó √a + b < √a + √b

Bài 5: Tìm x biết:

Giải:

a) √16x = 8

Ta nhớ rằng, khi giải phương trình chứa căn thức, luôn luôn chú ý đến các điều kiện đi kèm.

Ở bài này điều kiện của biểu thức dưới căn là 16x ≥ 0 hay x ≥ 0.

Ta bình phương hai vế, được: 16x = 64 suy ra x = 4 ≥ 0 nên thỏa mãn.

Ta kết luận x = 4 là nghiệm của phương trình.

b) √4x = √5

Điều kiện: 4x ≥ 0 hay x ≥ 0.

Ta bình phương hai vế được: 4x = 5 suy ra x = 5/4 ≥ 0 nên thỏa mãn điều kiện.

Ta kết luận x = 5/4 là nghiệm của phương trình.

Điều kiện: x − 1 ≥ 0 hay x ≥ 1.

Ta bình phương hai vế được: 9(x − 1) = 21²

Suy ra x − 1 = 49, suy ra x = 49 + 1= 50 ≥ 1 nên thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = 50 là nghiệm của phương trình.

Áp dụng khai phương một tích, ta có:

Ta chia ra hai trường hợp là 1 − x ≥ 0 và 1 − x < 0.

* Nếu 1 − x ≥ 0 hay x ≤ 1, ta có phương trình:

2(1 − x) − 6 = 0 

⇔ 1 − x = 3 suy ra x = -2 < 1 nên thỏa mãn điều kiện.

* Nếu 1 − x < 0 hay x > 1, ta có phương trình:

2(x − 1) − 6 = 0 

⇔ x − 1 = 3 suy ra x = 4 > 1 nên thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = -2 hoặc x = 4.

>>> Xem thêm: Cách biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai

---------------------------

Trên đây là tổng hợp kiến thức của Toploigiai về Quy tắc khai phương một thương. Qua bài viết này, mong rằng các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình thật nhiều kiến thức và học tập thật tốt nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi và đọc bài viết!