Phương biến đổi và các dạng toán của biểu thức chứa căn bậc hai

Hướng dẫn phương pháp biến đổi cùng với các dạng toán của biểu thức chứa căn bậc hai đầy đủ nhất. Giúp các em tư duy và vận dụng được kiến thức đã học về biểu thức chứa căn bậc hai. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

I. Phương pháp giải

5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

    Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.

    Bước 2: Thực hiện các phép tính theo thứ tự đã biết.

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức 

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện

+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản

+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

Hướng dẫn:

    a) Đưa thừa số vào trong dấu căn ta được:

    5√2 = √50; 2√5 = √20; 2√3 = √12; 3√2 = √18

    Mà √12 < √18 < √20 < √50

    ⇒ 2√3 < 3√2 < 2√5 < 5√2

    b) Đưa thừa số vào trong dấu căn ta được:

    6√(1/3) = √12; 2√8 = √32; 5√3 = √75

    Mà √12 < √27 < √32 < √75

    ⇒ 6√(1/3) < √27 < 2√8 < 5√3

    Nhận xét: Khi so sánh các căn thức với nhau, ta nên đưa các thừa số vào trong dấu căn, sau đó mới so sánh.

Ví dụ 2: Tính:

Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau:

    Vế trái bằng vế phải, ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 4:Cho:

    Tính giá trị của biểu thức A = (x⁴ - x³ - x² + 2x - 1)²⁰¹⁸

Ví dụ 5: Cho biểu thức:

    a) Rút gọn P

    b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6√5

    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Ví dụ 5: Cho biểu thức

Hướng dẫn:

    a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 9. Ta có:

    b) x = 14 - 6√5 = (3 - √5)² thỏa mãn ĐKXĐ. Thay vào ta có:

  ⇒ (√x + 1)2 = 9 ⇒ √x + 1 = 3 ⇒ x = 4

    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4, đạt được khi x = 4