Cách giải bài toán tìm GTLN GTNN lớp 9

I. Định nghĩa GTLN, GTNN 

 Cho hàm số y = f(x).

Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D.

Giá trị lớn nhất:  m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.

Giá trị nhỏ nhất:  M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:

 f(x) ≥ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈  D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai.

Cho biểu thức:

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng 

 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có:

Với mọi số thức không âm x₁, x₂,..., x_n, ta có:

Đại lượng x₁ + x₂+...+x_n được gọi là trung bình cộng của các số x₁, x₂,..., x_n

Đại lượng x₁.x₂....x_n được gọi là trung bình cộng của các số x₁, x₂,..., x_n

III. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức

- Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

- Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

|a| + |b| ≥ |a + b|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích a, b ≥ 0

IV. Ví dụ bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

Lời giải:

Ví dụ 4: Cho biểu thức 

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9√x

Lời giải:

Ví dụ 5:

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Hướng dẫn:

Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.

Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Lời giải: