Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng hình học

1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Cách giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Lập hệ phương trình.

+ Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số x và y (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt x là chiều dải mảnh vườn, y là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.

- Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

- Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

2. Giải bài toán lập hệ phương trình có nội dung hình học.

- Khi đặt ẩn là độ dài các đoạn thẳng, độ dài các cạnh thì điều kiện của ẩn là không âm.

- Diện tích hình chữ nhật S=x.y, với x là chiều rộng; y là chiều dài.

- Diện tích tam giác S=½ a.ha với a là độ dài một cạnh tam giác và ha là chiều cao ứng với cạnh đó.

- Định lý Pitago trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c, độ dài hai cạnh góc vuông là a,b thì

a² + b² = c²

Ví dụ 1.  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn.

- Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là x và y (đơn vị m, điều kiện x > 0, y > 0).

- Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là:

2(x+y) = 34

- Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài (y+3) m, chiều rộng (x+2) m nên có diện tích là (x+2)(y+3).

- Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình:

(x+2)(y+3)=xy+45

Từ đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này tìm được x=5 và y=12.

- Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài 12 m và chiều rộng 5 m.

Ví dụ 2: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.

Lời giải:

Gọi chiều dài của tấm bìa đó là x (x >17) (cm)

Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình:

x² + (x – 17)² = 532

⇒ x²+ x² – 34x + 289 – 2809 = 0

⇒ 2x² – 34 x – 2520 = 0

⇒ x = 45 hoặc x = -28 (loại)

Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 (cm), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 (cm)

Ví dụ 3: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.

Lời giải:

Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y

Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1/5 x = 4/5 x (m)

Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1+ 1/4 x = 5/4 y (m)

Nưa chu vi thửa ruộng đó là: 450 : 2 = 225 (m)

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 225 và 4/5 x+ 5/4 y = 225

Giải ra ta được: x=125 và y = 100 (thỏa mãn)

Diện tích ban đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 (m²)

3. Bài tập tự giải

Câu 1. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m². Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Câu 2. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm². Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm². Tính hai cạnh góc vuông.