Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng vận tốc

A. Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng vận tốc

I. Phương pháp giải chung của bài toán lập phương trình hoặc hệ phương trình

* Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình :

- Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.

- Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị).

- Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.

* Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình.

* Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời, nên rõ đơn vị của đáp số.

II. Dạng toán chuyển động

Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường, Vận tốc, Thời gian.

1. Mối liên hệ của 3 đại lượng trên:

- Quãng đường = Vận tốc x Thời gian

- Vận tốc = Quãng đường : Thời gian

- Thời gian = Quãng đường : Vận tốc

Công thức: 

Trong đó: S là quãng đường (km), v là vận tốc (km/h); t là thời gian (s)

- Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …

2. Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau

- Quãng đường tính bằng km, vận tốc km/h thì thời gian tính bằng giờ (h)

- Quãng đường tính bằng m, vận tốc m/s thì thời gian tính bằng giây (s)

3. Công thức tính vận tốc dòng nước

- Vận tốc của cano khi chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước

Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng)/2

4. Ví dụ bài tập

a. Giải bài toán trên đường bộ

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình 

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Hướng dẫn giải:

Đại lượng đã cho là quãng đường AB dài 30 km.

Ta cần xác định đại lượng cần tìm là vận tốc mỗi xe. Vậy ta gọi ẩn x (km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp. Điều kiện x > 0.

Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3 km/h. Ta biểu diễn được vận tốc của cô Liên theo x là x – 3 (km/h)

Ta có thể lập bảng sau:

	Vận tốc	Thời gian	Quãng đường
Bác Hiệp	x	30/x	30 km
Cô Liên	x – 3	30/(x – 3)	30 km

Bảng biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Mối liên hệ: Hai người cùng khởi hành một lúc và bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Dựa vào đây, ta có thể viết được phương trình.

Vì cô Liên đến sau bác Hiệp nên thời gian cô Liên đi đến B sẽ lớn hơn thời gian bác Hiệp đi đến B. Vận tốc càng lớn thì thời gian càng ít đi.

Giải phương trình bậc hai trên, ta nhận được kết quả x = 15 hoặc x = -12.

* Kết luận

Ta thấy chỉ có x = 15 > 0 thoả mãn điều kiện của đề bài.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h.

Vận tốc của cô Liên là x – 3 = 15 – 3 = 12 km/h.

Đó là bài toán hai xe đi cùng chiều, còn nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sao?

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Quãng đường AB là một con dốc. Một người đi xe đạp xuống dốc với vận tốc lớn hơn lên dốc là 4km/h và đi từ A đến B mất 2 giờ 10phút, từ B đến A mất ít hơn 10 phút. Tìm vận tốc của xe đạp khi lên dốc.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc khi lên dốc là x (km/h)

Vận tốc lúc xuống dốc là y (km/h) (x; y > 0)

Vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 4km/h nên ta có phương trình:

y – x = 4 (1)

Thời gian từ A đến B lớn hơn thời gian từ B đến A nên từ A đến B là lên dốc và từ B đến A là xuống dốc

Thời gian lên dốc từ A đến B là

Thời gian xuống dốc từ B đến A là: 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Vậy thời gian lên dốc là 48km/h.

b. Giải bài toán trong chuyển động trong dòng chảy 

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình 

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Nhận xét: Bài toán này là bài toán chuyển động trong dòng chảy. Cần nhớ:

- Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của ca nô + Vận tốc dòng nước

- Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – Vận tốc dòng nước

Hướng dẫn giải:

Giả sử hướng đi từ bến A đến B là xuôi dòng.

Gọi vận tốc của ca nô trong nước im lặng là x (km/h) (x > 3).

Ta có vận tốc ca nô đi từ A đến B (xuôi dòng) là x + 3 (km/h)

Vận tốc ca nô đi từ B về A (ngược dòng) là x – 3 (km/h)

Mà kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ, nên ta có phương trình:

Có a = 4; b = – 45, c = – 36

∆ = ( – 45)² – 4.4.(- 36)= 2601 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 12 (thoả mãn) hoặc x = -3/4 (loại)

Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một cano xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của cano là 20km/h. Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc xuôi dòng là x (km/h)

Vận tốc ngược dòng là y (km/h) (x; y > 0)

Thời gian cano đi xuôi dòng là:  44/x (giờ)

Thời gian cano đi ngược dòng là:  27/y (giờ)

Tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng của cano là 3 giờ 30 phút

Ta có phương trình:  

Ta có:

Vận tốc dòng nước = Vận tốc xuôi dòng - vận tốc thực của cano

Vận tốc dòng nước = vận tốc thực của cano - vận tốc ngược dòng

Ta có phương trình:

x – 20 = 20 – y

=> x + y = 40 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

=> Vận tốc dòng nước là: 2km/h

B. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1: Trên quãng đường AB dài 200km có hai xe đi ngược chiều nhau, xe 1 khởi hành từ A đến B, xe hai khởi hành từ B về A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe hai đi nhanh hơn xe 1 là 10km/h.

Bài 2: Một cano xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h. sau đó lại ngược dòng từ B về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc thực của cano không thay đổi.

Bài 3: Một ô tô chuyển động trên một đoạn đường. Trong nửa thời gian đầu ô tô chuyển động với vận tốc 60km/h, trong nửa thời gian còn lại ô tô chuyển động với vận tốc 40km/h. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả đoạn đường.

Bài 4: Một cano chuyển động đều xuôi dòng sông từ A đến B mất thời gian 1 giờ khi canô chuyển động ngược dòng sông từ B về A mất thời gian 1,5 giờ biết vận tốc cano đối với dòng nước và vận tốc của dòng nước là không đổi nếu cano tắt máy thả trôi từ A đến B thì mất thời gian là?

Bài 5: Hai bến sông A và B cách nhau 36km. Dòng nước chảy theo hướng từ A đến B với vận tốc 4km/h. Một canô chuyển động từ A về B hết 1 giờ. Hỏi canô đi ngược từ B đến A trong bao lâu?