Đường tròn ngoại tiếp tam giác lớp 9

I. Lý thuyết đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

1. Định nghĩa 

a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.

b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn  nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp 

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều.

Đa giác đều nn cạnh có độ dài mỗi cạnh là a,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và rr là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:

4. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).

5. Tính chất đường tròn ngoại tiếp

- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

 Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.

6. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

- Cách 1

+ Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R

+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình 

- Cách 2:

+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

- Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

7. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

- Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

+ Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c 

+ Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

+ Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:

=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

II. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 91 - SGK Toán 9 tập 2

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a)

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r).

Bài làm:

a) Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm: (O;2cm)

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O;2cm)

c) Vẽ OH⊥BC

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

r=OH=BH.

Vẽ đường tròn (O; √2cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Câu 2: Trang 91 - SGK Toán 9 tập 2

a) Vẽ tam giác ABC cạnh a=3cm.

b) Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R).

Bài làm:

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa)

b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều ABC).

Ta có:  

c) Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A′,B′,C′ của các cạnh.

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I,J,K. Ta có ΔIJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Câu 3: Trang 92 - SGK Toán 9 tập 2

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho: 

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Bài làm: