Cách chứng minh tiếp tuyến?

Đáp án và lời giải chính xác cho câu hỏi “Cách chứng minh tiếp tuyến?” cùng với kiến thức mở rộng về đường tiếp tuyến là những tài liệu học tập vô cùng bổ ích dành cho thầy cô và bạn học sinh.

Trả lời câu hỏi: Cách chứng minh tiếp tuyến?

 Phương pháp chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyển của đường tròn (O; R):

- Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.

- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.

- Cách 3: Chứng minh hệ thức MA²= MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Hãy cùng Top lời giải tìm hiểu thêm kiến thức về đường tiếp tuyến nhé!

Kiến thức tham khảo về đường tiếp tuyến

1. Tiếp tuyến là gì?

- Tiếp tuyến (tangent) là đường thẳng chỉ tiếp xúc, chứ không cắt đồ thị tại một điểm nhất đinh. Khái niệm tiếp tuyến có ích khi được vận dụng vào kinh tế để xác định độ dốc hay hệ số góc của một đường tại một điểm nhất định dọc theo hướng đó.

- Ví dụ, phân tích đường bàng quan cho thấy người tiêu dùng hành động hợp lý sẽ tìm cách tối đa hóa ích lợi của mình bằn cách chọn một kết hợp hai sản phẩm X và Y sao cho đường ngân sách của anh ta tiếp tuyến với đường bàng quan cao nhất có thể có, bởi vì chỉ tại điểm đó giá tương đối của các sản phẩm mới phù hợp với lợi ích tương đối của chúng.

- Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến “đi theo hướng” của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

- Tương tự như vậy, mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng “chỉ chạm vào” mặt cong tại điểm đó.

2. Dấu hiệu nhận biết đường tiếp tuyến

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm nào đó nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bất kỳ bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất đường tiếp tuyến

- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng vuông góc đầu mút bán kính nằm trên đường tròn. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm giao nhau giữa đường tròn và bán kính chính là tiếp tuyến.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm. Theo đó, tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

4. Hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến

* Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

- Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b =>  ka = -1 => k = -(1/a).

- Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng cho trước với hệ số góc k =  -(1/k).

* Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

- Tiếp tuyến d song song đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.

- Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.

- Sau khi đã lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ hãy kiểm tra lại tiếp tuyến đó xem có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì ta không nhận kết quả đó.

* Phương trình tiếp tuyến tại điểm

- Bước 1. Cần tính đạo hàm y’=f_(x). Từ đó có thể suy ra hệ số góc tiếp tuyến k=y’_(x0).

- Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x₀, y₀) có dạng là:  y= y’_(x0)(x – x₀) + y₀.

Lưu ý:

- Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x₀ thì cần tìm được y₀ bằng cách thay thế x₀ vào hàm số y = f_(x0).

- Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y₀ thì cần đi tìm y₀ cũng bằng cách thế y₀ vào hàm số y = f_(x0).

- Nếu đề bài yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b thì khi đó các hoành độ tiếp điểm x chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d sẽ có dạng là f_(x) = ax + b.

Đặc biệt: Nếu trục hoành Ox thì sẽ có y = 0 và trục tung Oy thì sẽ có x = 0.