Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và bài tập

Đáp án chính xác nhất cho câu hỏi trắc nghiệm “Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và bài tập”  cùng với những kiến thức mở rộng về Toán 11 là tài liệu đắt giá môn dành cho các thầy cô giáo và bạn em học sinh tham khảo.

Trả lời câu hỏi: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và bài tập

-  Định nghĩa giới hạn vô cực

Hàm số y=f(x) có giới hạn là ±∞ khi x→±∞ 

kí hiệu là limx→±∞f(x)=x=±∞

limx→+∞f(x)=+∞⇔limx→+∞|−f(x)|=−∞

- Bài tập

Hướng dẫn: 

Đáp án: C

Hướng dẫn:

Đáp án: C

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Kiến thức mở rộng về giới hạn 

1. Giới hạn của hàm số

- Nếu f là một hàm số, khi đó ta nói: 

- A là giới hạn của hàm số f khi z dần tiến đến a

- Nếu giá trị của hàm số f(x) nhận các giá trị rất gần giá trị A khi x dần tiến đến a.

 - Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

- Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

- Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

- Giới hạn một bên

Định nghĩa:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

- Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

- Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Định lí 2

- Giới hạn khi x → x0+ khác với giới hạn khi x → x0−. Do đó, giới hạn khi x → x0 không tồn tại.

- Thay vì tiếp cận theo cả hai phía, x có thể tiến tới a từ bên phải hoặc bên trái, khi đó giới hạn được gọi là giới hạn bên phải (bên trái) của f tại a.

- Nếu cả hai giới hạn này tồn tại và bằng nhau, khi ấy giới hạn của f tại a cũng tồn tại và bằng giá trị của hai giới hạn một bên. Nếu các giới hạn này tồn tại nhưng không bằng nhau thì giới hạn của f tại a không tồn tại. Nếu một trong hai giới hạn một bên này không tồn tại thì giới hạn tại a cũng không tồn tại.

- Một định nghĩa hoàn chỉnh như sau:

+ Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (hay từ bên trên) là L nếu, với mọi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < x − a < δ thì |f(x) − L| < ε.

+ Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (hay từ bên dưới) là L nếu, với mọi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < a − x < δ thì |f(x) − L| < ε.

- Để ý rằng nếu cả hai điều kiện 0 < x − a < δ và 0 < a − x < δ đều thỏa thì sẽ tương đương với 0 < |x − a| < δ

2. Giới hạn của dãy số

 * Định nghĩa 1

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

* Định nghĩa 2

- Một vài giới hạn đặc biệt