Định lí 3 đường vuông góc

Trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi “Định lí 3 đường vuông góc” và phần kiến thức tham khảo là tài liệu cực hữu dụng bộ môn Toán 11 cho các bạn học sinh và các thầy cô giáo tham khảo.

Trả lời câu hỏi: Định lí 3 đường vuông góc

- Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).

- Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với  a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

Kiến thức tham khảo về Định lí 3 đường vuông góc

1. Cách chứng minh định lí trên

- Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.

- Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a.

- Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’.

2. Các tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 * Tính chất 1

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Tính chất 2

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

* Tính chất 3.

- Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.

- Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn AB, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 

* Tính chất 4.

- Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng song song với nhau.

* Tính chất 5

- Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.

- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

3. Bài tập minh họa

Vấn đề 1

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

Giải:

Bài 2: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.

Giải

* Vấn đề 2

- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng nàỵ vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

a. Phương pháp giải

b. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải: