Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi: Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trả lời:

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Muốn chứng minh đường thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cùng Top lời giải tìm hiểu lý thuyết đường thẳng vuông góc mặt phẳng nhé!

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (α).

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. TÍNH CHẤT

1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2.Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. ĐỊNH LÝ

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Như vậy, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta được sử dụng kết quả đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đã cho. Nhưng để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó là đủ.

V. HỆ QUẢ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

VI. SỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG

1. Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

2. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

3. Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

4. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

5. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

6. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

VII. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1.Định nghĩa. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

2. Định lí ba đường vuông góc. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta có định nghĩa :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90°.

+ Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d của nó trên (à) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.

VIII. BÀI TẬP VÍ DỤ

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ΔABC vuông ở B, AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC.

B. AH ⊥ BC.

C. AH ⊥ AC.

D. AH ⊥ SC.

Chọn C

Hướng dẫn

Do SA⊥(ABC) nên câu A đúng.

Do BC⊥(SAB) nên câu B và D đúng.

Vậy câu C sai.

Câu 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC)

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh BC ⊥ (SAB).

A. BC ⊥ (SAB)

B. BC ⊥ (SAC)

C. (AD,BCˆ)=450

D. (AD,BCˆ)=800

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB, thì khẳng định nào sau đây đúng nhất. Chứng minh AH ⊥ SC.

A. AH ⊥ AD

B. AH ⊥ SC

C. AH ⊥ (SAC)

D. AH ⊥ AC

Hướng dẫn