Chứng minh y=cosx là hàm số chẵn

Câu hỏi: Chứng minh y=cosx là hàm số chẵn

Trả lời :

Hàm số y=cosx

Tập xác định: R là tập đối xứng.

Vậy y=cosx là hàm số chẵn.

Nhắc lại kiến thức cơ bản.

+ Hàm số y= sinx là hàm số lẻ.

+ Hàm số y= cosx là hàm số chẵn.

+ Hàm số y= tanx là hàm số lẻ.

+ Hàm số y= cotx là hàm số lẻ.

Cùng Top lời giải tìm hiểu về tính chẵn lẻ của hàm số nhé!

I. Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

+ Nếu D là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D) ta chuyển qua bước 2

+ Nếu D không là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà –x ∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

- Bước 2: Thay x bằng –x và tính f(-x).

- Bước 3: Kiểm tra (so sánh):

+ Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn

+ Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ

+ Nếu tồn tại một giá trị ∃ x₀ ∈ D mà f(-x₀ ) ≠ ± f(x₀) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. 

Ví dụ:

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos(2x).

c. y = tanx + cos(2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: sin (-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có:

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

II. Bài Tập vận dụng

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

Lời giải :

a) f(x) = 3x³ + 2∛x

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D

f(-x) = 3.(-x)³ + 2∛(-x) = -(3x³ + 2∛x) = -f(x)

Do đó f(x) = 3x³ + 2∛x là hàm số lẻ

b)

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D

Suy ra TXĐ: D = [-5;5]

Với mọi x ∈ [-5;5] ta có -x ∈ [-5;5]

Suy ra TXĐ: D = [-2; 2)

Ta có x0 = -2 ∈ D nhưng -x⁰ = 2 ∉ D

Vậy hàm số 

không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y= cosx+ sin2x.

B. y= sinx+ cosx.

C. y= - cosx.

D. y= sinx. cos 3x.

Lời giải:

Chọn D

Các hàm số đã cho đều có tập xác định D= R

+ xét phương án A: ta có f(x)= cosx+ sin2x

Và f(-x)= cos( -x)+ sin2 (-x)= cosx+ sin2x

⇒ f(x)= f(-x) nên hàm số y= cosx+ sin2 x là hàm số chẵn.

+ xét phương án B: y= sinx+ cosx

Ta có: g(x)= sin x+ cos x và g (-x)= sin( - x)+ cos( - x) = - sinx+ cosx

Ta có: (g(x) ≠ g(-x) và -g(x) ≠ g(-x) ⇒ hàm số y= sinx+cosx là không chẵn; không lẻ.

+ Xét phương án C: y= h(x) = - cosx

Ta có: h( -x) = - cos( - x) = - cosx

⇒ h (x)= h(-x) nên hàm số y= - cosx là hàm số chẵn.

+ xét phương án D: y=k(x)= sinx. cos3x

Ta có k(-x) = sin(-x).cos(-3x) = - sin x. cos3x

Và - k(x)= - sinx. cos3x

⇒ k(-x) = - k(x) nên hàm số y= sinx. cos 3x là hàm số lẻ