Chứng minh n mũ 3 cộng 11n chia hết cho 6

Câu hỏi: Chứng minh n mũ 3 cộng 11n chia hết cho 6

Trả lời:

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6

+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Giả thiết: U_k = (k³ + 11k) chia hết 6

Ta cần chứng minh: U_k + 1 = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6

Ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

= U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ U_k + 1 ⋮ 6.

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 11n

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Cùng Top lời giải tìm hiểu về phép chia và dấu hiệu chia hết nhé!

I. Phép chia

Khái niệm

Trong toán học, đặc biệt là trong số học sơ cấp, phép chia (:) là một phép toán số học. Cụ thể, nếu b nhân c bằng a, viết là: a = b × c

Trong đó b không phải là số không, thì a chia b bằng c, viết là: a: b = c

Ví dụ: 6: 3 = 2 bởi vì 3 x 2 = 6

Trong biểu thức trên, a gọi là số bị chia, b là số chia và c gọi là thương.

Khái niệm phép chia có liên quan đến khái niệm phân số. Không giống như phép cộng, phép trừ và phép nhân, tập hợp số nguyên không đóng trên phép chia. Kết quả của phép chia hai số nguyên có thể trả về phần dư. Để tiếp tục thực hiện phép chia cho phần dư, hệ thống số cần được mở rộng thêm với phân số hoặc số hữu tỉ.

II. Dấu hiệu chia hết

Chia hết có nghĩa là khi bạn chia một số cho một số khác, kết quả là một số nguyên không phải là số thực.

Các quy tắc chia hết này cho phép bạn kiểm tra xem một số có chia hết cho một số khác không mà không phải tính toán quá nhiều.

Bất kỳ số nguyên nào (không phải là một phân số) đều chia hết cho 1.

Khi một số chia hết cho một số khác thì nó cũng chia hết cho từng nhân tố của số đó.

1. Dấu hiệu chia hết cho 2

Một số chia hết cho 2 chỉ khi chữ số cuối của số này là số chẵn (chia hết cho 2): Các số chẵn bao gồm 0, 2, 4, 6, 8. Cho dù chữ số đó có bao nhiêu chữ số đi nữa, ví dụ như 4 chữ số là 2020, hay 8 chữ số là 10000000 thì chỉ cần biết chữ số cuối cùng là số chẵn thì chắc chắn số đó sẽ chia hết cho 2.

Ví dụ: Số 2019 không chia hết cho 2 vì số cuối cùng là số lẻ (số 9).

Số 2020 chia hết cho 2 vì số 0 là số chẵn.

Chú ý : Các số tận cùng là 1;3;5;7;9 thì không chia hết cho 2.Hoặc các số lẻ thì không chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu chia hết cho 3

Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.

Ví dụ: 726 chia hết cho 3 vì 7 + 2 + 6 = 15 chia hết cho 3

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3 đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 dư bấy nhiêu.Ví dụ : Số 5213 không chia hết cho 3 vì 5+2+1+3=11 mà 11:3 = 3 dư 2 nên số 5213 : 3 = 1737 dư 2.

3. Dấu hiệu chia hết cho 4

Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm:

Nếu số lớn hơn 99:

+ Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4.

+ Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết cho 4 (76/4 = 19). Số 345200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không.

Nếu số nhỏ hơn 99:

+ Số chỉ chia hết cho 4 khi ta nhân đôi chữ số hàng chục và cộng thêm chữ số hàng đơn vị, nếu kết quả này chia hết cho 4 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 4. 

Ví dụ: số 64, số hàng chục ở đây là 6, chúng ta cần nhân đôi số này và cộng thêm chữ số cuối: 2 * 6 + 4 = 16, 16 chia hết cho 4 do đó 64 chia hết cho 4.

+ Hoặc số 96  = 9.2 + 6 = 24 /4 = 6 nên 96 chia hết cho 4. 

+ Số 47 = 4.2 + 7 = 15 không chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.

4. Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

5. Dấu hiệu chia hết cho 6

Có các quy tắc nhận biết một số có chia hết cho 6 gồm:

+ Một số chia hết cho 6 khi nó chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ví dụ số 12 /2 = 6 và 12/3 = 4 nên 12 chia hết cho 6.

+ Nếu kết quả chữ số hàng chục nhân với 4 rồi cộng thêm chữ số hàng đơn vị của một số bất kỳ chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 6. Ví dụ: Số 72  = 7.4 + 2 = 28 + 2 = 30 / 6 = 5. Nên 72 chia hết cho 6. 

+ Nếu tổng các chữ số là một số chẵn và tổng này chia hết cho 3 thì số đó đó chắc chắn sẽ chia hết cho 6. Ví dụ:  Số 132 có tổng các chữ số = 1 + 3 + 2 = 6 /3 = 2. Nên 132 chia hết cho 6.

6. Dấu hiệu chia hết cho 7

Quy tắc chung:  Để nhận biết một số có thể chia hết cho 7, ta cắt giảm chữ số cuối cùng đi 1 số, nhân đôi số đó và lấy số cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Điều này cần được thực hiện lặp đi lặp lại một vài lần, đến khi thu được một số có thể chia hết cho 7 (như: 14, 7, 0, -7, v.v…), thì số đã cho chia hết cho 7.

III. Các dạng bài tập liên quan 

Câu 1

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)²

Trả lời :

- Khi n = 1, VT = 1;

⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Câu 2

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: 1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n+1)(2n+1)⁶

Trả lời :

+ Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

 

Câu 3

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: 2 + 5 + 8 + ... + 3n−1 = n(3n+1)²

Trả lời :

+ Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy :

Ta có :