Nêu phương pháp xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

Câu hỏi: Nêu phương pháp xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Trả lời:

Có 2 phương pháp xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.

+ Phương pháp 1. Tìm 2 điểm chung phân biệt giữa hai mặt phẳng. Đường thẳng nối 2 điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng.

+ Phương pháp 2. Tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. (Để xác định phương của giao tuyến ta thường dựa vào quan hệ song song).

(Thông thường ta tìm mặt phẳng thứ ba chứa lần lượt 2 đường thẳng của 2 mặt phẳng cần xác định giao tuyến, nếu 2 đường thẳng này cắt nhau thì giao điểm chính là điểm chung của hai mặt phẳng, nếu 2 đường thẳng này song song sẽ cho ta phương của giao tuyến)

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng nhé.

1. Định lý áp dụng để xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

Định lý. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Định lý. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) thì mọi mặt phẳng (β) chứa a mà cắt (α) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

2. Phương pháp giải xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.

3. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi  d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua và song song với BC.

B. d qua và song song với DC.

C. d qua và song song với AB.

D. d qua và song song với BD.

Lời giải:

Đáp án đúng: A. d qua và song song với BC.

Ta có:

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:

A. AN trong đó N là trung điểm CD

B. AM trong đó M là trung điểm của AB.

C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.

D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.

Lời giải:

Đáp án đúng: A. AN trong đó N là trung điểm CD

   + Ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD)    (1)

   + Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD.

Từ (1) và (2) suy ra: NA = (ABG) ∩ (ACD)

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AB

B. AC.

C. BC.

D. SA.

Lời giải:

Đáp án đúng: A. AB

Xét (SAB) và (SCD) có

S là điểm chung:

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:

A. Đường thẳng MN

B. Đường thẳng AM

C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)

D. Đường thẳng AH ( H là trực tâm tam giác ACD)

Lời giải:

Đáp án đúng: C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)

   + Ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN).    (1)

   + Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD

Từ (1) và ( 2) suy ra: BG = (ABN) ∩ (MBD)