Tham vấn chuyên môn bài viết
Giáo viên:
Vương Tài Phú
Giáo viên Toán với 4 năm kinh nghiệm
Tham vấn chuyên môn bài viết
Giáo viên:
Vương Tài Phú
Giáo viên Toán với 4 năm kinh nghiệm
Tổng hợp kiến thức về Phép tịnh tiến cùng với một số dạng toán đầy đủ, hay nhất. Giúp các em có thể nắm vững kiến thức về phép tịnh tiến. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!
Trong mặt phẳng cho vector v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho vecto MM’ bằng vectơ v. được gọi là phép tịnh tiến theo vector v
Phép tịnh tiến theo vector – không là phép đồng nhất.
* Tính chất 1
* Tính chất 2
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tọa độ vecto v = (3;4). Hãy tìm ảnh của điểm A (1; -1) qua phép tịnh tiến theo vectơ v
Lời giải:
Gọi A′ (x′; y′) là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải
Ta có Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tọa độ vecto v = (2;-4) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến vecto v
Lời giải:
Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0 (1)
Gọi Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải
Thay vào (1) ta được phương trình: 2(x' - 2) - 3(y' + 4) + 5 = 0 => 2x' - 3y' = 0
Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x - 3y – 11 = 0
Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh
Phương pháp giải: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của vecto v. Để tìm tọa độ của vecto v, ta có thể giả sử v = (a; b), sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a,b và giải hệ tìm a,b
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + y – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v có giá song song với Oy biến d thành d′ đi qua điểm A (2; 4)
Lời giải:
Vì v có giá song song với Oy nên vecto = (0;k ) (k ≠ 0)
Lấy M(x;y) ∈ d => 3x + y - 9 = 0 (1)
Gọi Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải
Thay vào (1) ta được: 3x’ + y’ – k – 9 = 0
Do đó Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải
Mà A (2; 4) thuộc d, suy ra k=1
Vậy tọa độ của vecto v→ = (0;1)
Dạng 3: Dùng phép tịnh tiến để giải các bài toán dựng hình
Phương pháp giải:
- Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến
- Sử dụng kết quả: Nếu Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giải và N ∈ H thì N ∈ (H') , trong đó Các bài toán về phép tịnh tiến và cách giải và cách giảivà kết hợp với M thuộc hình (K) để suy ra M ∈ (H') ∩ (K)
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d1 cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d (hay d1). Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d1 để tứ giác ABMM’ là hình bình hành
Lời giải:
Điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ BA Khi đó điểm M’ vừa thuộc d1 vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA
Từ đó có thể suy ra cách dựng:
- Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ BA
- M’ là giao điểm của d’ và d1
- Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ BA
Suy ra tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài.
Bài tập 1: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v
Lời giải:
Từ đường thẳng d => VTCP của d là: vecto u = (- 6; 4)
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v = (1;-3) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến vectơ v .
Lời giải:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có 2x - 3y + 5 = 0 (*)
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M', N' tương ứng của chúng qua qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'.
Cụ thể: Lấy M(-1;1), N(2;3) thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M'(0;-2), N'(3;0). Do d' đi qua hai điểm M', N' nên có phương trình
Bài tập 3: Trong mặt phẳng vecto v=(−2;1) cho, đường thẳng d có phương trình 2x−3y+3=0, đường thẳng d1 có phương trình 2x−3y−5=0
a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua Tv→.
b) Tìm tọa độ của w→ có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw→
Lời giải:
a) Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M=(0;1).
Khi đó M′=Tv→(M)=(0−2;1+1)=(−2;2) thuộc d'. Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng 2x−3y+C=0. Do M′∈d′ nên 2.(−2)−3.2+C=0. Từ đó suy ra C = 10. Do đó d' có phương trình 2x−3y+10=0
b) Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M=(0;1). Đường thẳng d2 qua M vuông góc với có vectơ chỉ phương là v→=(2;−3). Do đó phương trình của d2 là x−0/2=y−1/−3. Gọi M' là giao của d1 với d2 thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình:
Từ đó suy ra w→= MM′→ =(16/13;−24/13).
Bài tập 4:
Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tv→ (d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0
Lời giải:
d' là ảnh của d qua phép Tv→ thì d' song song hoặc trùng với d
Nhận thấy d//d’ nên với mỗi điểm A ∈ d; B ∈ d' ta có:
Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−y−9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.
Lời giải:
Giao của d với trục Ox là điểm A(3;0). Phép tịnh tiến phải tìm có vectơ tịnh tiến v→=AO→=(−3;0). Đường thẳng d' song song với d và đi qua gốc tọa độ nên nó có phương trình 3x−y=0.
Bài tập 6: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với vectơ v = (-2;-1)
Lời giải:
* Cách 1: Gọi Tv→ (d) = d'. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0
Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: Tv→ (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8
Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0
* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, Tv→ (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d và chọn B’(-1;1) ∈ d’, Tv→ (B) = B' ⇒ B(1;2) ∈ d
Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:
* Cách 3: Gọi M’(x’;y’) ∈ d’, Tv→(M) = M'
Ta có: M’ ∈ d’
⇔ 2x’ + 3y’ – 1 = 0
⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0
⇔ 2x + 3y – 8 = 0
⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0
Bài tập 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 − 2x + 4y − 4=0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ = (−2;5).
Lời giải:
Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm I(1;−2), bán kính r = 3. Gọi I′ = Tv→(I) = (1−2;−2+5) = (−1;3) và (C') là ảnh của (C) qua Tv→ thì (C') là đường tròn tâm (I') bán kính r=3. Do đó (C') có phương trình:
(x+1)2 + (y−3)2 = 9
Cách 2. Biểu thức tọa độ của Tv→ là
Thay vào phương trình của (C) ta được
(x′+2)2 + (y′−5)2 − 2(x′+2) + 4(y′−5) – 4 = 0
⇔ x′2 + y′2 + 2x′ − 6y′ + 1 = 0
⇔ (x′+1)2 + (y′−3)2 = 9
Do đó (C') có phương trình (x+1)2 + (y−3)2 = 9
Bài tập 8: Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ BC
Lời giải:
Bài tập 9: Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v
Lời giải:
Lấy 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d
Lần lượt thực hiện phép tịnh tiến A, B theo vecto v ta được 2 điểm A’ và B’
Đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và B’ là đường thẳng d’ hay d’ là ảnh của đường thẳng d