Tìm giới hạn: Lim 1/5n+3

Câu hỏi: Tìm giới hạn: Lim 1/5n+3

Trả lời:

Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho n:

=> 1/n /(5 +3/n) = 0

Cách 2: Ta thấy bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu => Lim 1/5n+3= 0

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về giới hạn nhé. 

1. Giới hạn là gì? 

Trong toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.

Khái niệm giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù.

Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (a_n) ta viết lim(a_n) = a hoặc a_n → a.

2. Định nghĩa Lim là gì? 

- Lim - viết tắt của Limit trong tiếng anh với nghĩa là “giới hạn”. Định nghĩa về “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. 

- Khái niệm về giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước trong một không gian đầy đủ. Giới hạn được xem là một khái niệm quan trọng của môn Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.

- Định nghĩa về giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và được liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù. Ký hiệu giới hạn bằng chữ lim.

- Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (a_n)  ta viết lim(a_n)=a hoặc (a_n)→a

Một số phương pháp tính lim thủ công

Tính giới hạn của dãy số

Cách 1: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Cách 2: Tìm giới hạn của dãy số bằng công thức

Một số công thức ta thường gặp khi tính giới hạn hàm số như sau:

Công thức trên có thể biến tấu thành các dạng khác tuy nhiên về bản chất thì không thay đổi.

Cách 3: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn

Cách 4: Sử dụng các giới hạn đặc biệt cùng với định lý để giải quyết các bài toán tìm giới hạn dãy số

Ta thường sử dụng các dạng giới hạn:

- Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì ta tiến hành  chia cả tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất ở bậc mẫu.

- Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hợp để đưa về dạng cơ bản thì ta có một số lượng liên  hợp cần thiết như sau:

Cách 5: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, tính giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.

- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q| < 1

- Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (U_n)

S = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + …. + u_n = u_{1 / ( 1 – q )}

- Mọi số thập phân đều được biểu thị dưới dạng lũy thừa của 10.

Cách 6: Tìm giới hạn vô cùng của một dãy số bằng định nghĩa

Khi lim khi và chỉ khi u_n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Cách 7: Tìm giới hạn của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực

Chứng minh một dãy số có giới hạn

- Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:

+ Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.

+ Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.

Chứng minh tính tăng và tính bị chặn:

- Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.

- Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1

Đặt lim u_n = a. Từ limu_(n+1) = limf(u_n) ta được một phương trình theo ẩn a.

Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (u_n) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.

Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát u_n của dãy số bằng cách dự đoán. Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.