Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số

I. Phương pháp chung

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x ∈ D

Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D

Tìm m để phương trình có nghiệm

Cách 1: Phương pháp đạo hàm

+ Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)

+ Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1

+ Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0

+ Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D1

+ Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m

Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai ( áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc hai )

+ Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)

+ Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là D1

+ Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at² + bt + c = 0

+ Bước 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có nghiệm t ∈ U

+ Bước 5: Kết luận

II. Giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải và biện luận phương trình: sinx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm.

Bước 2: Nếu |m|≤1, xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt m=sinα, ta được:

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt:

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin(πsin2x)=1.

Ta có:

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Khi đó (1) có dạng:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

2. Giải và biện luận phương trình: cosx=m.

PHƯƠNG PHÁP: Ta biện luận theo các bước sau:

Bước 1: Nếu |m|>1 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 2: Nếu |m|≤1, xét hai trường hợp:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt, khi đó đặt m=cosα, ta được:

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặc biệt:

Ví dụ 2: Giải phương trình: 

Phương trình tương đương với:

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

3. Giải và biện luận phương trình: tanx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Đặt điều kiện:

Xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m=tanα, ta được:

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

4. Giải và biện luận phương trình: cotx=m.

PHƯƠNG PHÁP : Ta biện luận theo các bước sau:

Đặt điều kiện:

Xét hai khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng:

+ Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m=cotα, ta được:

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.