Cách tính công sai cấp số cộng

I. Phương pháp tính công sai, cấp số cộng

+ Dãy số (u_n) là cấp số cộng khi và chỉ khi u_n+1 − u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.

+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1; công sai d. Khi đó; số hạng thứ n của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n−1)d

+ Nếu biết số hạng thứ n và thứ m của dãy ta suy ra:

Giải hệ phương trình trên ta được u₁ và công sai d.

II. Cấp số cộng

1. Khái niệm cấp số cộng 

Trong toán học, cấp số cộng là khái niệm được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn điều kiện số đứng sau bằng tổng của số đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi này được gọi là công sai. Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. 

Ví dụ: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23… 

- Định nghĩa cấp số cộng:

U_n là cấp số cộng nếu: u_{n + 1} = u_n + d

Trong đó: 

+ d là công sai = u_{n + 1} – u_n

- Số hạng tổng quát

Chúng ta có thể tính được số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu và công sai:

u_n = u₁ + (n – 1)d, (trong đó n ≥ 2)

2. Các công thức liên quan đến cấp số cộng

- Chỉ với cấp số cộng, bạn có thể giải 1 cách dễ dàng với 2 bài toán liên quan đến dãy số sau:

- Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: ak = a + (k-1)d

3. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Ở đây, chúng ta sẽ dùng  ý tưởng của Gauss để chứng mình công thức thứ 1 khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101

Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai]  + 1

4. Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

- Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=u_n–u_n–1, ∀n ≥ 2.

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.

+ Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

- Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát u_n = u₁ + (n–1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

- Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.

Tìm công thức cho số hạng tổng quát u_n = u₁ +(n–1)d