Tiếp tuyến là gì?

1. Định nghĩa tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Leibniz định nghĩa tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong và có độ dốc f '(c) với f ' là đạo hàm của f. Một định nghĩa tương tự áp dụng cho các đường cong không gian và các đường cong trong không gian Euclide n-chiều.

Tính chất của tiếp tuyến:

- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng vuông góc đầu mút bán kính nằm trên đường tròn. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm giao nhau giữa đường tròn và bán kính chính là tiếp tuyến.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm. Theo đó, tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

2. Một số thuật ngữ đường tròn về tiếp tuyến, dây cung ở đường tròn

- Dây cung (gọi tắt là dây): Là đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.

- Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

- Đường kính: đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.

- Bán kính: là đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.

Các tính chất của dây cung ở đường tròn:

+ Các dây cung cách đều tâm khi chúng có chiều dài bằng nhau.

+ Đường trung trực của dây cung đi qua tâm đường tròn.

+ Trong trường hợp cả 2 đường thẳng chứa dây cung AB, CD cùng thuộc một đường tròn cắt nhau tại điểm P ta gọi chúng là hai cát tuyến và có hệ thức: PA x PB = PC x PD (tính chất phương tích của một điểm).

+ Trong trường hợp 2 góc cùng nằm trên một đường tròn chắn 2 dây cung bằng nhau hoặc cùng 1 dây cung thì chúng có số đo bằng nhau.

3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Tia tiếp tuyến và dây cung kết hợp với nhau sẽ tạo thành góc có đỉnh nằm trên đường tròn. Trong đó, một cạnh của góc này sẽ chứa tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn đó.

Định lý

Số đo của góc tạo bởi dây cung đường tròn và tia tiếp tuyến được xác định bằng ½ góc của cung bị chắn.

Hệ quả

Trong đường tròn, góc được tạo bởi dây cung và tia tiếp tuyến có số đo bằng góc nội tiếp cùng chắn dây cung đó.

4. Định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là :

y=f′(x₀).(x−x₀)+f(x₀)

Khi đó, f′(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x₀;y₀)

5. Cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong các bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, để tìm được tiếp tuyến thì mấu chốt là ta phải tìm được điểm tiếp xúc hay giá trị x0 trong công thức trên.

Ví dụ:

Cho hàm số và điểm M(x₀;y₀) thuộc đồ thị hàm số. Biết rằng y′′(x₀)=8. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm M

Cách giải:

Ta có:

y' = 4x³ - 4x ⇔ y'' = 12x² - 4

Vậy y''(xo) = 8 ⇔ 12x_o² - 4 =8 ⇔ x₀ = 1 hoặc x_o = -1

Nếu x₀=1 thì ta có phương trình tiếp tuyến là :

y=y′(x₀)(x−x₀)+y(x₀)=−1

Tương tự, nếu x₀=−1 thì phương trình tiếp tuyến là :

y=−1

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là y=−1