Bài tập về phương trình nghiệm nguyên lớp 9

A. Kiến thức cần nhớ

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

- Phương pháp dùng tính chất chia hết

- Phương pháp xét số dư từng vế

- Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

- Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

- Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x 17y 159 1 + = (1)

Hướng dẫn giải

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x +13y = 156 (1).

Hướng dẫn giải

Chú ý: Phương trình có dạng ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử.

- Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để một phân số trở thành số nguyên

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: 23x + 53y = 109

Hướng dẫn giải

Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 11x + 18y = 120 (1)

Hướng dẫn giải

Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x² + 5y² = 74

Hướng dẫn giải

Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số

* Cơ sở phương pháp:

Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên. 

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: A(x;y).B(x;y) = c trong đó A(x;y), B(x;y) là các biểu thức nguyên, c là một số nguyên.

Xét các trường hợp A(x;y), B(x;y) theo ước của c.

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2xy - x + y = 3

Hướng dẫn giải

2xy - x + y = 3

<=> 4xy - 2x + 2y = 6

<=> 2x(2y - 1) + (2y - 1) = 6 - 1

<=>(2y -1) + (2x + 1) = 5

Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là một tích các thừa số nguyên, vế trái là hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên 2x + 1 và 2y – 1 là các số nguyên và là ước của 5.
(2x + 1) và (2y - 1) là các ước số của 5 nên ta có:

Vập phương trình có các nguyện nguyên là (x, y) = (3, 0); (-1, -2); (2, 1); (-3, 0).

Xem tiếp file đầy đủ tại đây