Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

Câu trả lời đúng nhất: Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định theo công thức:

- Thể tích khối tròn xoay: thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox, khi đó thể tích khối tròn xoay được xác định theo công thức:

Vậy để hiểu rõ hơn về phương pháp ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong toán học mời các bạn cùng Toploigiai đến với nội dung sau đây

1. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

- Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a; x=b (a<b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a≤x≤b) cắt (H) theo thiết diện là S(x) (hình vẽ). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b].

Khi đó thể tích Vcủa vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức:

b. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

- Hàm số  y=f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:

- Cho hai hàm số  y=f(x), y=g(x) thỏa 0≤g(x)≤f(x), liên tục và không âm trên [a,b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a,x=b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức:

>>> Tham khảo: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy b và chiều cao h là

c. Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x² ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = (1-x²), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Hướng dẫn:

Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là

Bài 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:

2. Bài tập vận dụng

A. 48π.    

B. 36π.    

C. 24π.    

D. 6π.

Đáp án: A

Lời giải

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos2x; x = 0; x = π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.

Đáp án: D

Lời giải

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² + 1; y = 0; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Đáp án: A

Lời giải

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x² + x; y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Đáp án: B

Lời giải

>>> Tham khảo: Công thức tính thể tích khối tứ diện?

---------------------------

Trên đây Toploigiai đã cùng bạn giải đáp câu hỏi ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay. Bên cạnh đó là một số bài tập vận dụng về tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong tích phân . Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích được cho các bạn trong quá trình học tập cũng như làm việc.