Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Toploigiai đã biên soạn và chứng minh các dạng bài tập đường thẳng và mặt phẳng giúp học sinh hiểu rõ các cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng nhanh nhất. Để hiểu rõ thêm các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng mời các em học sinh cùng tham khảo các phương pháp giải và các dạng bài tập dưới đây. Chúc các bạn học tập tốt!

1. Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp 1

Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) cần thực hiện:

- Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của α và (β) .

- Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm (AB=(α)∩(β))

Chú ý: Để tìm chung của (α) và (β)  thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần

lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm  chung của hai mặt  phẳng.

Phương pháp 2

Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung S

Lúc này ta có hai trường hợp:

- TH1: Hai mặt phẳng (α) và (β)  theo thứ tự chứa hai đường thẳng d­₁ và d₂ mà d₁ ∩ d₂ = I

⇒SI là giao tuyến cần tìm (tức là (α)∩(β))=SI

- TH2: Hai mặt phẳng (α)và (β) lần lượt chứa hai đường thẳng d­₁ và d₂ mà d₁//d₂

  Dựng xSy song song với d₁  hoặc d₂.

⇒xSy là giao tuyến cần tìm. (tức là (α)∩(β))=xSy)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải

Xét các phương án:

   + Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.

   + Phương án B:

Ta có:

Do đó B đúng

   + Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.

   + Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.

>>> Xem thêm: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

2. Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau:

* Cách 1:

    + Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)

    + Trong mp( Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:

    + Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mp (Q) với mp (P)

    + Tìm giao tuyến của mp(P) và (Q) - gọi là đường thẳng d.

    + Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d - gọi là điểm A

Khi đó: điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (P)

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)

Lời giải

   + Vì G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF)

   + Ta có E là trung điểm của A B nên E ∈ (ABF).

   + chọn mp phụ chứa EG là (ABF).

Dễ dàng tìm được giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF.

   + Trong mp(ABF); gọi M là giao điểm của EG và AF .

Vậy giao điểm của EG và mp(ACD) là giao điểm M của EG và AF

3. Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Phương pháp 1: (Hình 1)

* Nếu ∠ABD + ∠DCB = 180^o  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180⁰ là góc bẹt

Phương pháp 2: ( Hình 2)

Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- hình 7

Phương pháp 3: (Hình 3)

* Nếu AB ⊥ a ; AC ⊥A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

* Hoặc chứng minh A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.

Phương pháp 4: ( Hình 4)

* Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia ∠xOA = ∠xOB  ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’≡ K thì A, K, C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.

Hướng dẫn giải

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D₁ = ∠D₂ (đối đỉnh).

DC = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=> ∠C₁ = ∠M và BC = AM.

Mà : ∠C₁; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.

Ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN

4. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

- Vận dụng các định lý về các đường thẳng đồng quy của tam giác

+ Ba đường trung tuyền của một tam giác đồng quy

+ Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy

+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy

- Ba đường thẳng a, b, c đã cho không phải là các đường chủ yếu của tam giác thì để chứng minh a, b, c đồng quy ta có thể gọi giao điểm của a và b là O rồi chứng minh đường thẳng c đi qua điểm O hay chứng minh O nằm trên đường thẳng c.

- Một số bài toán có thể đưa bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C)

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại O

b) Điểm O có vị trí như thế nào đối với tam giác DEF

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC các đường phân giác ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại D.

=> AD là đường phân giác trong đỉnh A

Chứng minh tương tự ta được BE và CF lần lượt là đường phân giác trong tại đỉnh B và C của tam giác ABC

=> Ba đường AD, BE, CF đồng quy tại điểm O

b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng, ba điểm C, D, E thẳng hàng, ba điểm A, E, F thẳng hàng

Xét tam giác DEF có

AD ⊥ EF (hai đường phân giác của hai góc kề bù)

Tương tự BE ⊥ DF, CF ⊥ DE

=> AD, BE, CF là ba đường cao gặp nhau tại O

=> O là trực tâm của tam giác DEF.

>>> Xem thêm: Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

5. Bài tập vận dụng bổ sung kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C)

a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại O

b) Điểm O có vị trí như thế nào đối với tam giác DEF

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC các đường phân giác ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại D.

=> AD là đường phân giác trong đỉnh A

Chứng minh tương tự ta được BE và CF lần lượt là đường phân giác trong tại đỉnh B và C của tam giác ABC

=> Ba đường AD, BE, CF đồng quy tại điểm O

b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng, ba điểm C, D, E thẳng hàng, ba điểm A, E, F thẳng hàng

Xét tam giác DEF có

AD ⊥ EF (hai đường phân giác của hai góc kề bù)

Tương tự BE ⊥ DF, CF ⊥ DE

=> AD, BE, CF là ba đường cao gặp nhau tại O

=> O là trực tâm của tam giác DEF.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC.

Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải: 

Δ BMC và Δ DMA có: 

MC = MA (do M là trung điểm AC) 

∠BMC = ∠DMA (hai góc đối đỉnh) 

MB = MD (do M là trung điểm BD) 

Vậy: Δ BMC=  Δ DMA (c.g.c) 

Suy ra: ∠ACB = ∠DAC, hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1) 

Chứng minh tương tự : BC // AE (2) 

Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề O-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với (SBD)

Hướng dẫn giải

   + Chọn mp(SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)

Có S ∈ (SAK) ∩ (SBD)    (1)

   + Trong mp(ABCD) có:

   + Từ (1) và (2) suy ra (SAK) ∩ (SBD) = SE

   + Trong mp(SAK) gọi

Vậy giao điểm của IK và (SBD) là giao điềm của IK và SE

Bài 4: Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) không song song với AB, AC. S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).

Giải:

Kẻ đường thẳng AB cắt đường thẳng a tại M. Nối A’M. Khi đó,

A’M ⊂ (A’; a) và M ∈ (A’; a).

M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC)

Vậy M là một điểm chung của hai mặt phẳng (A’;a) và (ABC).

Kẻ đường thẳng AC cắt đường thẳng a tại N. Nối A’N. Khi đó,

A’N ⊂ (A’; a) và N’ ∈ (A’; a).

N ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ N ∈ (ABC)

Vậy N là một điểm chung của hạ mặt phẳng (Á’; a) và (ABC).

Do đó, MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Lấy hai điểm M, N lần lượt trên AC và AD sao cho MN không song song CD. Lấy điểm O bên trong ΔBCD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của các đường thẳng BC, BD với mặt phẳng (OMN).

a) Trong mặt phẳng (ACD) gọi I là giao điểm của hai đường thẳng NM và CD.

Hiển nhiên OI=(OMN)∩(BCD).

b) Trong mặt phẳng (BCD) gọi H, K là giao điểm của OI với BC, BD.

K,H∈OI⇒K,H∈(OMN).

Vậy H=BC∩(OMN), K=BD∩(OMN)

--------------------

Trên đây là tổng hợp kiến thức của Toploigiai về Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .Qua bài viết này, mong rằng các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình thật nhiều kiến thức và học tập thật tốt nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi và đọc bài viết!