Chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập

Các bạn hãy cùng Toploigiai, chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập R. Và cách tìm hàm đồng biến, nghịch biến nhé!

1. Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

a. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.

Khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng tăng (giảm). ta gọi Hàm số  đồng biến trên D.

Khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng giảm (tăng). ta gọi Hàm số nghịch biến trên D.

Vậy, hàm số được gọi là đồng biến trên D nếu :

Lấy x₁, x₂ ∈ D sao cho:   x₁< x₂ => f(x₁) < f(x₂ ) .

Hàm số được gọi là nghịch biến trên D nếu:

Lấy x₁, x₂ ∈ D sao cho:   x₁< x₂ => f(x₁) > f(x₂ ) .

b. Cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

Phương pháp:

Bước 1: tìm xác định D.

Bước 2: Lấy x₁, x2 ∈ D sao cho: x₁ < x₂ => x₂ – x₁> 0.

Bước 3: tính: f(x₁) = …;  f(x₂) = …

Bước 4 : so sánh f(x₁) và f(x₂). bằng cách xét hiệu : f(x₂) – f(x₁) = … (hoặc f(x₂) : f(x₁) = …).

Nếu f(x₁) < f(x₂) : Hàm số được gọi là đồng biến trên D.

Nếu f(x₁) > f(x₂) : Hàm số được gọi là nghịch biến trên D.

>>> Tham khảo: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2. Ví dụ minh họa

Bài tập 1: chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x + 1 đồng biến trên R.

Giải.

TXĐ : D = R

Lấy x₁, x₂ ∈ D :   x₁ < x₂ => x₂ – x₁ > 0.

tính : f(x₁) = x₁ + 1

f(x₂) = x₂ + 1

xét : f(x₂) – f(x₁) = (x₂ + 1) – (x₁ + 1) = x₂ –x₁ 

ta có : x₂ – x₁ > 0 => f(x₂) – f(x₁) > 0

=> f(x₁) < f(x₂)

Vậy : Hàm số đồng biến trên R.

Bài tập 2: Chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x² – 5 nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Giải.

TXĐ : D = R

Lấy x₁, x₂ ∈ D :   x₁ < x₂ => x₂ – x₁ > 0.

tính: f(x₁) = x₁² – 5

f(x₂) = x₂² – 5

xét : f(x₂) – f(x₁) = (x₂²– 5) – (x₁² – 5) = x₂²– x₁² = (x₂ – x₁ ) (x₂ + x₁ )

Nếu x₁ , x₂ ∈ ( -∞ ; 0) thì x₂ + x₁ < 0

ta lại có : x₂ – x₁ > 0 => (x₂ – x₁ ) (x₂ + x₁ ) < 0 => f(x₂) – f(x₁) < 0

=> f(x₁) > f(x₂)

Vậy: Hàm số  nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0).

Nếu x₁ , x₂ ∈ (0; +∞) thì x₂ + x₁ > 0

ta lại có : x₂ – x₁ > 0 => (x₂ – x₁ ) (x₂ + x₁ ) > 0 => f(x₂) – f(x₁) > 0

=> f(x₁) < f(x₂)

Vậy : Hàm số  đồng biến trên khoảng ( 0; +∞).

>>> Tham khảo: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

3. Chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập R

TXĐ: D = R

Lấy x₁, x₂ ∈ D

x₁ < x₂ => x₂ – x₁ > 0

Tính:

f(x₁) = 2x₁

f(x₂) = 2x₂

Xét: f(x₂) - f(x₁) = 2x₂ - 2x₁ = x₂  - x₁

Ta có: x₂  - x₁ > 0 => f(x₂) - f(x₁) > 0 => f(x₁) < f(x₂)

Vậy, hàm số đồng biến trên R

4. Trắc nghiệm sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = -x3 như hình vẽ. Hàm số y = -x3 nghịch biến trên khoảng:

A. (-1;0)     

B. (-∞;0)

C. (0;+∞)    

D. (-1;1)

Lời giải

Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞), Chọn đáp án C.

Câu 2: Tìm m để hàm số y = (-mx + 2)/(2x - m) luôn nghịch biến trên khoảng xác định.

A.-2 < m ≤ 2     

B. m < -2 hoặc m > 2

C. -2 < m < 2     

D. m ≠ ±2

Lời giải

Tập xác định D = R \ (m/2)

Suy ra m2 - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

Hàm số đồng biến trên:

A. (0;1)

B. (1;3)

C. (0; 1) ∪ (1; 3)

D. (0;1) và (1;3).

Lời giải

Trên khoảng (0; 1) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Trên khoảng (1; 3) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Đồ thị hàm số bị gián đoạn tại x = 1. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng (0; 1) và (1; 3)

Câu 4: Hỏi hàm số y= (3x - 1)/(x + 5) đồng biến trên các khoảng nào?

A. (-∞ ; +∞)     

B. (-∞; -5)

C. (-5; +∞) ∪ (1; 3)    

D. (0; 1) và (1; 3)

Lời giải

Hàm số xác định ∀x ≠ -5

y' xác định ∀x ≠ -5 . Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -5) và (-5; +∞)

Câu 5: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ - 9x² + 12x + 3

A.(-∞; 1) ∪ (2; +∞)    

B. (-∞ 1] và [2; +∞)

C. (-∞; 1) và (2; +∞)     

D. (1;2)

Lời giải

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (2; +∞)

---------------------------------

Như vậy, Toploigiai đã giúp các bạn giải đáp chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập R. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn.