Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Lời giải và đáp án chính xác nhất cho câu hỏi trắc nghiệm “Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?” kèm kiến thức tham khảo là tài liệu trắc nghiệm môn Toán 12 hay và hữu ích.

Trả lời câu hỏi: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Đáp án đúng: C.

Giải thích:

- Hàm số đồng biến trên R trước hết phải có tập xác định D=R, loại câu A.

- Xét các câu khác, chỉ có (x³ – x² + x)’ = 3x² – 2x + 1 > 0 x nên y = x³ – x² + x đồng biến trên R.

Hãy để Top lời giải giúp bạn tìm hiểu thêm những kiến thức thú vị hơn về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số nhé! 

Kiến thức tham khảo về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) .

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

 - Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

 - Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

* Định lý mở rộng

 - Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

 - Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

 i) Tìm tập xác định

 ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định.

 iii) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

5. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó:

+ Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (a;b).

+ Nếu f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (a;b).

Ghi chú: Dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

6. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số không hề phức tạp. Học sinh chỉ cần hiểu rõ kiến thức là có thể làm được bài. Vì vậy, trước khi đi sâu vào phương pháp, công thức giải nhanh dạng bài tập này, chúng ta điểm qua một số kiến thức trọng tâm.

Hàm số y = f(x) xác định trên I, I là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.

– Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên I nếu:

∀ x₁, x₂ ∈ I: x₁ < x₂ ⇔ f(x₁) < f(x₂).

– Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên I nếu:

∀ x₁, x₂ ∈ I: x₁ < x₂ ⇔ f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến, nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.

- Phương pháp giải dạng bài xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Để giải dạng bài tập này, các bạn cần thực hiện đủ các bước sau:

+ Tìm tập xác định D.

+ Tìm f'(x). Tìm các điểm mà f'(xi)=0 và f'(xi) không xác định.

+ Lập bảng biến thiên.

+ Kết luật khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = x³ – 3x + 1.

Tập xác định D = R

Ta có f'(x) = 3x² -3. f'(x) = 0 ⇔ x= 1; hoặc x= -1.

Thay x = -2, f'(x) = 9 >0.

Thay x = 0. f'(x) = -3 < 0.

Ta có bảng biến thiên sau:

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên kết luận:

– Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞; -1) và (1;+∞)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Dạng 2: Giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số bằng máy tính cầm tay:

Ngoài cách sử dụng bảng biến thiên để giải bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12, học sinh cũng có thể dùng chiếc casio của mình để giải.

Ví dụ: Cho hàm số y = x⁴ -2x² + 4. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞; -1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; -1) và (1;+∞).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; -1) và ( 0;1).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1).

Chúng ta có thể dùng máy tính để xét tính đơn điệu như nhau:

Nhập MODE 7, nhập f(x) = x⁴ -2x² + 4 Start?-5 → End?5→ Step?1. Khi đó ta nhận được bảng giá trị.

x	F(x)		x	F(x)
-5	579		0	4
-4	228		1	-3
-3	67		2	12
-2	12		3	67
-1	-3		4	228
			5	579

Từ bảng giá trị ta thấy hàm số nghịch biến trên (- ∞; -1) và (0;1).

Trên đây là ví dụ cơ bản nhất về bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12. Từ phương pháp giải dạng bài tập trên, các em có thể vận dụng giải nhiều bài tập khác.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên I. Khi đó:

– Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên I thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ I.

– Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên I thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

– Nếu f'(x) > 0 , ∀ x ∈ I thì hàm số f(x) đồng biến trên I.

– Nếu f'(x) < 0 , ∀ x ∈ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I.

– Nếu f'(x) = 0 , ∀ x ∈ I thì hàm số f(x) không đỏi trên khoảng I.

- Phương pháp giải:

+ Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d.

+ Tập xác định: D= R

y’ = 3ax² + 2bx + c

- Để hàm số đồng biến trên R thì y’ ≥ 0, ∀ x ∈ R.

Khi đó: a > 0; Δ ≤ 0.

- Để hàm số nghịch biến trên R thì y’ ≤ 0, ∀ x ∈ R.

Khi đó: a <0; Δ ≤ 0

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:

y’ >0, ∀ x ∈ D ⇒ ad - bc > 0

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi.

y’ < 0, ∀ x ∈ D ⇒ ad - bc < 0.

- Ví dụ:

Cho hàm số y = mx³ + x +1.

Tập xác định d = R.

y’ = 3mx² +1.

- Để hàm số đồng biến trên R thì:

y’≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ 3mx² +1 ≥ 0; ∀ x ∈ R.

⇔ 3m > 0; Δ= -12m ≤ 0 ⇔ m > 0.

Hàm số nghịch biến trên R thì:

y’ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ 3mx² +1 ≤ 0; ∀ x ∈ R.

Khi đó a <0; Δ ≤ 0 ⇔ 3m < 0; -12m ≤ 0 ⇔ m ∈ Ø.