Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Câu trả lời đúng nhất: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

1. Mặt phẳng là gì? Tính chất của mặt phẳng

Mặt phẳng là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một mặt phẳng là mô hình hai chiều tương tự như một điểm (không chiều), một đường thẳng (một chiều) và không gian ba chiều. Các mặt phẳng có thể xuất hiện như là không gian con của một không gian có chiều cao hơn, như là những bức tường của một căn phòng dài ra vô hạn, hoặc chúng có thể có quyền tồn tại độc lập, như trong các điều kiện của hình học Euclid.

Khi chỉ xét riêng trong không gian Euclide hai chiều, mặt phẳng đề cập đến toàn bộ không gian. Nhiều hoạt động cơ bản trong toán học, hình học, lượng giác, lý thuyết đồ thị và vẽ đồ thị được tiến hành trên không gian hai chiều, hay nói cách khác, trong mặt phẳng.

Tính chất:

Các mệnh đề sau tồn tại trong không gian Euclide ba chiều nhưng không tồn tại ở các chiều không gian cao hơn, dù chúng có mô hình chiều không gian cao hơn:

- Hai mặt phẳng phân biệt hoặc là song song hoặc giao nhau trên một đường thẳng.

- Một đường thẳng hoặc là song song với một mặt phẳng, hoặc cắt nó tại một điểm duy nhất, hoặc bị chứa trong mặt phẳng.

- Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với cùng một mặt phẳng phải song song với nhau.

- Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với cùng một đường thẳng phải song song với nhau.

>>> Xem thêm: Nêu phương pháp xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

2. Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.

+ Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải: 

Xét các phương án:

   + Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.

   + Phương án B:

Ta có:

Do đó B đúng

   + Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.

   + Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.

>>> Xem thêm: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Lời giải

   + Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)

- Vì

   + Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD). Do đó A đúng. Chọn A.

3. Bài tập tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).

c) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBD)

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD).

b) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ABD).

c) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ACD).

---------------------------------

Trên đây Top lời giải đã cùng các tìm hiểu về Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có kiến thức hữu ích khi đọc bài viết này, chúc các bạn học tốt.