Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên trên mặt phẳng.

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90 độ.

Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó lên mặt phẳng (P).

2. Góc giữa hai mặt phẳng

Để giúp các bạn nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của góc giữa 2 mặt phẳng.

Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: 

Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,

Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

3. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a’ và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Đường thẳng a hợp với mặt phẳng P một góc 90 độ

4. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bước 1

Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

Bước 2

Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

Bước 3

Góc AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

* Với góc vuông: Nếu đường thằng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 90 độ

 * Với góc thông thường: 

Để xác định góc giữa đường thẳng ( không phải là góc vuông) cần thực hiện theo các bước sau:

– Tìm điểm chung giữa đường thẳng và mặt phẳng

– Tìm hình chiếu của một điểm thứ 2 trên mặt phẳng rồi từ đó tìm được hình chiếu của đường thẳng và tìm được góc

Ví dụ cụ thể:

Cách dựng hình chiếu vuông góc của điểm M đến mặt phẳng (P)

Thực hiện như sau:

– Nếu có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Kẻ đường MH song song với đường thẳng d thì H là hình chiếu vuông góc của M trên H (P)

Ta có: HM // d, d ⊥ (P ) ⇒ MH ⊥ (P), H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

– Nếu như không có sẵn đường thẳng vuông góc thì thực hiện như sau:

+ Chọn mặt phẳng (Q) chứa điểm M sao cho mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

+ Từ M kẻ MH vuông góc với giao tuyến a thì H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

5. Bài tập có lời giải

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

1. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

2. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

3. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB

4. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = √6 a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Tam giác ABC vuông cân tại A

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

Chọn đáp án D.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 75°

Hướng dẫn giải

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

A. 30°                B. 45°                C. 60°               D.90°

Hướng dẫn giải