Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Xác định góc giữa hai mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trương chương trình Toán 11. Cùng Top lời giải tìm hiểu qua bài viết sau:

1. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian bằng góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Chú ý rằng góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0∘ đến 90∘.

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0∘. Trái lại, hai mặt phẳng phải cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng nào đó, giả sử là Δ, thì ta có ba cách như dưới đây.

Bài toán. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong không gian.

1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Vì chúng ta được quyền lựa chọn các đường thẳng a và b nên ta thường chọn sao cho hai đường thẳng này cắt nhau, để việc tính góc giữa chúng dễ dàng hơn.

1.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng giao tuyến

- Xác định giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Tìm mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ.

- Lần lượt tìm các giao tuyến a và b của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Tính góc giữa hai đường thẳng a và b, đây chính là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Nhận xét. Thay vì tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ, ta có thể đi tìm một điểm C nào đó trên Δ. Sau đó, từ điểm C này lần lượt dựng hai đường thẳng a và b nằm trong từng mặt phẳng rồi tính góc giữa chúng.

1.3. Tính góc giữa 2 mp bằng công thức diện tích hình chiếu

Giả sử góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng φ. Lấy trong mặt phẳng (P) một đa giác (H) có diện tích S, hình chiếu vuông góc của đa giác (H) lên mặt phẳng (Q) là đa giác (H′) có diện tích S′. Khi đó ta luôn có công thức

S′=Scosφ.

2. Ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh SA=a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), chúng ta sử dụng cách thứ 2.

- Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) chính là BC.

- Bây giờ, ta cần tìm (nếu chưa có sẵn thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm) một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến BC này. Bạn nào phát hiện ra đó chính là mặt phẳng (SAB) thì tốt, nếu chưa thì chú ý hai điều sau:

+ Muốn có một mặt phẳng vuông góc với BC thì cần tìm mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với BC.

+ Đường thẳng BC đang vuông góc với những đường thẳng nào (chính là SA và AB).

- Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng (SAB) rồi, chúng ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu, chính là các đường thẳng AB và SB

- Cuối cùng, chúng ta đi tính góc giữa hai đường thẳng AB và SB, chính là góc SBA, các em hãy tự tính xem góc này bằng bao nhiêu.

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), các em hãy thực hiện đúng các bước như trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này chính bằng góc SOA.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a; cạnh SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Hướng dẫn.

1. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) chính bằng góc SBA.

2. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là đường thẳng d đi qua điểm S và song song với BC. Do đó, chúng ta tìm một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến d thì cũng chính là đi tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng BC. Và, nhận thấy luôn mặt phẳng (SAB) vuông góc với BC. Sau đó đi xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) với hai mặt phẳng ban đầu khá dễ dàng. Góc giữa hai mặt phẳng chính bằng góc BSE và đáp số 

3. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), chúng ta có thể làm theo cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến SC của chúng. Tuy nhiên, cách này không phải bạn nào cũng biết cách tạo ra một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đó, nên ở đây thầy hướng dẫn theo cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu.

Trong mặt phẳng (SBC) chúng ta chọn một đa giác mà dễ dàng tính được diện tích, chọn luôn tam giác SBC. Đây là tam giác vuông tại B nên diện tích tính bởi

Tiếp theo, tìm hình chiếu của tam giác này lên mặt phẳng (SAC). Chúng ta có ngay hình chiếu vuông góc của C và S thì trùng với chính chúng luôn, nên chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm B là đủ.

Phát hiện được trung điểm F của AC chính là hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (SAC) (hãy thử giải thích tại sao, nếu không được thì mời các em để lại bình luận dưới bài viết, thầy sẽ hướng dẫn).

Như vậy, hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (SAC) chính là tam giác SCF, tam giác này có diện tích 

Theo công thức diện tích hình chiếu thì

SSCF=SSBC⋅cosφ

Thay số vào tìm được, ((SAC),(SBC))=60^∘.

Nếu vẫn sử dụng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến SC, thầy gợi ý là lần lượt gọi H,K là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC thì chứng minh được mặt phẳng (AHK) vuông góc với SC. Góc giữa hai mặt phẳng cần tính chính bằng góc AK