Công thức cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Là dãy 1 dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện hai số liền kề nhau sai khác nhau một hằng số (không đổi).

Cơ sở lý thuyết

u_n là cấp số cộng nếu u_n+1 = u_n +d với n ∈ N*, d là hằng số.

Công sai d = u_n+1 - u_n

Ví dụ:

Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì:

6=3+3

9=6+3

12=9+3

15=12+3

Đây là CSC có công sai d=4 và số hạng đầu u₁ = 3

2. Số hạng tổng quát

Ví dụ:

Cho CSC (u_n) biết u₁ = -1, d = 3. Tìm u₂₀

Ta có: 

u₂₀ = u₁ + (20-1)d

       = u₁ + 19d

       = -1 +19.3

       = 56

3. Tính chất

Ví dụ:

Cho ba số 3; x; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.

4. Tổng n số hạng đầu

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu (u_n) (triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

u₁ = 4,5: u_n+1 = u_n + 0,3 với ∀n ≥ 1

Từ đó ta có dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: u₁₂ = 4,5 + (12 - 1). 0,3 = 7,8

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

5. Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: 

Bước 2: Kết luận: d = u_n - u_n-1, ∀n ≥ 2

- Nếu d là số không đổi thì dãy là CSC.

- Nếu d thay đổi theo n thì dãy không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát u_n = u₁ + (n-1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát 

6. Bài tập cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp cấp số cộng (u_n) với u₁ =3 và u₂ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u₂ - u₁ =6

Bài 2: Cho một CSC có u₁ = -3; u₆ = 27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải

Bài 3: Cho một CSC có

Tìm d?

Hướng dẫn giải

Bài 4: Cho CSC 

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính S = u₄ + u₅ +…+u₃₀

Hướng dẫn giải

Bài 5. Cho CSC 

1. Xác định công sai?

2. Tính tổng S = u₅ + u₇ + … + u₂₀₂₁

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

Bài 6: Xác định x để 3 số 1 - x; x²; 1 + x:  theo thứ tự lập thành một CSC?

Hướng dẫn giải

Ba số: 1 - x; x²; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 

x² - (1 - x) = 1 + x - x² ⇔ 2x² = 2 ⇔ x = ±1