Phương pháp quy nạp toán học là gì? Ví dụ

Câu hỏi: Phương pháp quy nạp toán học là gì? Ví dụ?

Lời giải

* Khái niệm phương pháp quy nạp toán học:

Mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề như vậy lại phụ thuộc vào một biến số tự nhiên n. Một cách tổng quát ta ký hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số tự nhiên. Như vậy, thực chất phương pháp quy nạp toán học là chứng minh dãy mệnh đề sau đúng hoặc sai:

P(1), P(2), P(3),… P(n),…

* Ví dụ: Chứng minh n⁷−n chia hết cho 7 với mọi n∈N*

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết phương pháp quy nạp toán học và luyện tập một số bài toán về quy nạp toán học nhé!

Phương pháp quy nạp toán học chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n∈N*

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N^∗ bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1(giả thiết quy nạp).

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Chú ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n≥p (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Một số sạng bài tập phương pháp quy nạp toán học

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp:

Với mọi số tự nhiên n ta luôn có :

1³ + 2³ + 3³ +…+ n³ = (1 + 2 + 3 +…+ n)²

Giải:

* Với  n=1. Ta có: 1³ = 1²

Vậy đẳng thức trên đúng với n = 1

* Với n = 2 ta có 1³ + 2³ = (1 + 2)²

Vậy đẳng thức trên đúng với n = 2

* Giả sử đẳng thức đúng với n = k

Tức 1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ = (1 + 2 + 3 +…+ k)² (*)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1

Tức là ta sẽ chứng minh 1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)² (**)

Thật vậy:

Từ (*) và (**) ta có:

1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)²

⇔ (1 + 2 + 3 +…+ k)² + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)² (***)

Mặt khác ta có công thức tính tổng sau:

Vậy:

* Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức này đúng.

Ta có:

Vậy ta đã chứng minh đẳng thức (**) là đúng, có nghĩa là đẳng thức đã cho đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều phải chứng minh.

Dạng 2: Bài toán chia hết

Ví dụ: Chứng minh rằng với n ε  N*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

Lời giải

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, có S_k = (k³ + 3k² + 5k) ⋮ 3

Xét với n = k + 1

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

        = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

mà  Sk  ⋮ 3,  3(k² + 3k + 3) ⋮ 3 nên S_k+1 ⋮ 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) ⋮ 3 với mọi n ε N*  .

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, thì S₁  ⋮ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 có S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Xét với n = k + 1 

S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

        = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

mà S_k  ⋮ 9  và  9(5k - 2)  ⋮ 9 => S_k+1 ⋮ 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) ⋮ 9 với mọi n ε N*