Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 11

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình bình hành  ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .

1. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)

2. Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD)

3. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

Bài giải

1. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)

• Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN
• Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

( SAC) ∩ (SBD) = SO

• Trong (SAC), gọi  I = AN ∩  SO,  I ∈ AN

I ∈  SO  mà  SO ∈ ( SBD)  →  I ∈  ( SBD)

        Vậy:  I = AN ∩ ( SBD)

2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

• Chọn mp phụ (SMC) ∩ MN
• Tìm  giao tuyến của (SMC ) và (SBD)

S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)

Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD

→   ( SAC) ∩ (SBD) = SE

• Trong (SMC), gọi  J = MN ∩ SE , J∈ MN

J∈ SE  mà  SE ∈ ( SBD) → J ∈ ( SBD)

Vậy  J = MN ∩( SBD)

3. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

      Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)                                                                                 

• I ∈ SO  mà  SO ∈ ( SBD)   → I ∈ ( SBD)
• I ∈ AN  mà  AN∈ (ANB)   → I ∈ (ANB)

          → I  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

• J ∈ SE  mà  SE ∈ ( SBD)   →  J ∈ ( SBD)
• J ∈ MN  mà  MN ∈ (ANB)   →  J ∈ (ANB)

          → J  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

        Vậy : B, I, J  thẳng hàng

Bài 2: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB ,  AD cắt BC tại O và OJ cắt SC  tại M .

1. Tìm giao điểm K = IJ và  (SAC)

2. Xác định giao điểm L = DJ và (SAC)

3. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

Bài giải

1. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)

• Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ
• Tìm  giao tuyến của (SIB ) và (SAC)

S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)

Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI

→  (SIB) ∩ ( SAC) = SE

 Trong (SIB), gọi  K = IJ ∩ SE                                                                                                       

K ∈ IJ

K ∈ SE  mà  SE⊂ (SAC ) → K ∈ (SAC)

Vậy:  K = IJ ∩ ( SAC)

2. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)

• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ
• Tìm  giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)

Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD

→ (SBD) ∩ ( SAC) = SF

• Trong (SBD), gọi  L = DJ ∩ SF

 L ∈ DJ

 L ∈ SF  mà  SF ⊂ (SAC ) → L ∈ (SAC)

Vậy : L = DJ ∩ ( SAC)

3. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

Ta có: A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

• K ∈ IJ  mà  IJ ⊂ (AJO) →  K ∈(AJO)
• K ∈SE mà  SE⊂ (SAC ) →  K ∈ (SAC )

→ K  là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

• L ∈ DJ mà  DJ ⊂ (AJO) →  L ∈ (AJO)
• L ∈ SF mà  SF ⊂ (SAC ) →  L ∈  (SAC )

→ L  là điểm chung của (SAC) và (AJO)                                                                        

• M ∈ JO mà  JO ⊂ (AJO) → M ∈ (AJO)
• M ∈SC mà  SC ⊂(SAC ) →  M ∈ (SAC )

 → M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

 Vậy : A ,K ,L ,M  thẳng hàng

Bài 3: Cho tứ diện SABC.Gọi  L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.

1. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

2. Tìm giao điểm I = BC ∩( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)

3. Chứng minh M , I , J thẳng hàng

Bài giải

1. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

Ta có :  N là điểm chung của (LMN) và (ABC)

Trong (SAB) , LM không song song với AB

Gọi K = AB ∩ LM

K ∈ LM  mà  LM ⊂ (LMN ) →  K ∈ (LMN )

K ∈ AB  mà  AB ⊂ ( ABC) → K ∈(ABC)                                          

2. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN)

• Chọn mp phụ (ABC) ∩ BC
• Tìm  giao tuyến của (ABC ) và (LMN)

→  (ABC) ∩ ( LMN) = NK

• Trong (ABC), gọi  I = NK ∩ BC

                                  I ∈ BC

                                  I ∈ NK  mà  NK ⊂ (LMN ) →  I ∈ (LMN)

        Vậy : I = BC ∩ ( LMN)

Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN)

• Trong (SAC), LN không song song với SC

            gọi  J = LN ∩ SC                       

                  J ∈ SC

                 J∈ LN  mà  LN ⊂ (LMN ) →  J ∈ (LMN)

        Vậy : J = SC ∩ ( LMN)

3. Chứng minh M , I , J thẳng hàng

        Ta có : M, I, J  là điểm chung của (LMN) và ( SBC)

        Vậy : M, I, J    thẳng hàng

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

1. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)

2. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)

3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng

Bài giải

1. Tìm giao điểm I = BN ∩( SAC)

• Chọn mp phụ (SBD) ∩ BN
• Tìm  giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

  Trong (ABCD), gọi  O = AC ∩ BD

  →  (SBD) ∩ ( SAC) = SO

• Trong (SBD), gọi  I = BN ∩ SO

                                 I ∈ BN

                                 I ∈ SO  mà  SO ⊂ (SAC ) →  I ∈ (SAC)

Vậy : I = BN ∩ ( SAC)

2. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC):

• Chọn mp phụ (SMD) ∩ MN
• Tìm  giao tuyến của (SMD ) và (SAC)

                Trong (ABCD), gọi  K = AC ∩ DM

          →  (SMD) ∩ ( SAC) = SK

• Trong (SMD), gọi  J = MN ∩ SK

                                  J ∈ MN

                                  J ∈ SK  mà  SK ⊂ (SAC ) → J ∈ (SAC)

Vậy : J = MN ∩ ( SAC)

3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng:

Ta có: C, I, J  là điểm chung của (BCN ) và (SAC)

Vậy : C, I , J    thẳng hàng

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c)  Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là giao điểm AC và BD.

Trong mp(SBD), BN cắt SO tại đâu đó chính là điểm I.

Trong mp(ABCD), DM giao AC tại E.

Trong mp(SDM), SE∩MN=J .

b) Dễ thấy 3 điểm S, K, J đều thuộc 2 mặt phẳng là (SAC) và (SDM) nên 3 điểm S, K, J thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trên hay chúng thẳng hàng.

c) Trong mp(SAC), kẻ CI giao SA tại O.

Từ đó thiết diện tạo bởi mp(BNC) với hình chóp từ tứ giác BCNP.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB

a). Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)

b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hang