Trọng tâm là gì, trực tâm là gì?

Trọng tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là những kiến thức hình học cơ bản ta đã được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên nhiều năm trôi qua có rất ít người có thể nhớ một cách chính xác trực tâm là gì? Vậy trong bài viết này, giáo viên Top lời giải sẽ cùng bạn đi tìm hiểu về trọng tâm là gì? Trực tâm là gì? Mời các bạn cùng Toploigiai theo dõi nội dung dưới đây!

1. Trọng tâm là gì?

a. Khái niệm

Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

G là trọng tâm của tam giác ABC.

>>> Xem thêm: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

b. Tính chất của trọng tâm

Trọng tâm là một điểm đặc biệt trong tam giác có các tính chất quan trọng như sau:

Khoảng cách từ điểm trọng tâm của tam giác đến đỉnh sẽ bằng ⅔ độ dài của đường trung tuyến tương ứng đỉnh đó.

Khoảng cách tính từ trọng tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng ⅓ độ dài của đường trung tuyến ứng với cạnh đó.

Trọng tâm của tam giác vuông

Trọng tâm tam giác vuông cũng được tìm như cách tìm trọng tâm tam giác thường. Ta xét tiếp trường hợp tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm của ABC.

Vì AI là trung tuyến của 1 góc vuông nên ta có AI = 12 BC. Tức AI = BI = CI.

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Trọng tâm tam giác vuông cân cũng được xác định như tam giác thường. Xét tam giác ABC vuông cân tại A. G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì tam giác vuông cân tại A nên AG là đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao của tam giác ABC => AG vuông BC

Ngoài ra còn có: AB = AC (Cân tại A) => BM=BN

BN= AN=AM=CM

>>> Xem thêm: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trọng tâm trong tam giác cân

Tiếp tục lấy ví dụ tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm tam giác cân ABC. Do ABC cân tại A nên AG lúc này vừa đóng vai trò là đường trung tuyến, đường cao và cả đường phân giác của tam giác ABC. Ta có hệ quả từ trọng tâm này như sau:

Góc BAG = Góc CAG

Trung tuyến AG vuông góc với cạnh BC

Trọng tâm tam giác đều

Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

c. Ví dụ về trọng tâm tâm giác

Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Bx // AC . Lấy điểm D∈Bx và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ΔABC và ΔADE có cùng một trọng tâm.

Lời giải (h.18.3)

Vì Bx // AC nên CBx=BCE (so le trong).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có ΔBMD=ΔCME  (c.g.c).

Suy ra MD=ME(1) và BMD=CME

Ta có BME+CME=180 (kề bù).

Do đó BME+BMD=180o⇒BME+BMD=180o⇒ D, M, E thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.

ΔABC và ΔADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G của hai tam giác này trùng nhau.

2. Trực tâm là gì?

a. Khái niệm

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao.

Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

b. Tính chất của trực tâm

Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.

Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại  một điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm chính là đỉnh góc vuông. Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

c. Ví dụ về trực tâm trong tam giác

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Lời giải

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

-------------------------

Như vậy, trên đây Toploigiai đã cùng bạn tìm hiểu về trọng tâm là gì? Trực tâm là gì? Và cung cấp những kiến thức có liên quan. Hy vọng những kiến thức chúng tôi cung cấp sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập. Trân trọng!