Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác là gì?

Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A(∠A=90⁰), ta có:

1. b² = ab′;c² =a .c′

2. Định lý Pitago : a² = b²+c²

3. a.h=b.c

4. h² = b′.c′h

5. 1/h² = 1/b² + 1/c²

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đình A,B,C và S là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc 

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

Bài tập: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 3 trang 46: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi BH = c’ và CH = b’(h.2.11). Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

a² = b² + (.....)

b² = a x (.....)

c² = a x (.....)

h² = b’ x (.....)

ah = b x (.....)

Lời giải

a² = b² + c²

b² = a x b'

c² = a x c'

h² = b’ x c'

ah = b x c

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 3 trang 48: Khi ABC là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý quen thuộc nào ?

Lời giải

Khi ABC là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý Py- ta – go.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 3 trang 49: Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 3 trang 52: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 3 trang 50: Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh hệ thức: 

Lời giải

Do tam giác ABC vuông tại A nên trung điểm O của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ BC = a = 2R

Ta có: