Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

4. Ứng dụng

5. Định nghĩa vectơ

Cho hai điểm phân biệt A và B gọi là đoạn thẳng AB (có thể gọi là đoạn thẳng BA) không có sự khác nhau về bản chất. (ví dụ: ảnh dưới)

Trong thực tế, với 2 vị trí khác nhau, chúng ta cần chiều đi của nó. Ví dụ: chiều Hà Nội vào TP.HCM sẽ khác chiều đi từ TP.HCM ra Hà Nội. Vì vậy, trong toán học, để biểu diễn chiều đi của nó: Chiều đi từ A tới B hoặc từ B tới A, người ta sẽ có khái niệm vectơ ra đời. Cụ thể như sau:

Chiều đi từ A tới B (ví dụ: ảnh dưới)

Ta có vectơ AB, trong đó A là điểm đầu, B là điểm cuối.

Chiều đi từ B tới A (ví dụ: ảnh dưới)

Ta có vecto BA, trong đó B được gọi là điểm đầu, A được gọi là điểm cuối

Như vậy, cho hai điểm phân biệt A và B để biểu diễn chiều đi của đoạn thẳng AB ta sử dụng vectơ AB. 

=> Định nghĩa vectơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu: Người ta sẽ dùng điểm đầu và điểm cuối của véc tơ để thể hiện vectơ bằng chữ in hoa, ngoài ra có thể sử dụng chữ in thường

Ví dụ:

6. Hai Vectơ cùng phương

Với đoạn thẳng AB ta sẽ dựng đường thẳng AB, với 2 điểm A và B ta có hai vectơ AB và BA thì ta thấy rằng vectơ AB nằm toàn bộ trên đường thẳng AB thì kho đó ta nói rằng đường thẳng AB là giá của vectơ AB.

=> Giá của vectơ là một đường thẳng chứa vectơ đó.

Cho 2 đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau, với các điểm A,B,C,D,E,F (như hình) ta xét vectơ AB, vectơ BC, vectơ ED, vectơ EF.

Vectơ AB, vectơ BC có giá là d₁ là các vectơ cùng phương với nhau.

Vectơ ED, vectơ EF có giá là d₂ là các vectơ cùng phương với nhau.

=> Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau

Ví dụ: 

7. Vectơ cùng hướng – vectơ bằng nhau

a, Vectơ cùng hướng: Là hai vectơ cùng phương và có chiều giống nhau

Xét hình bình hành ABCD tìm véc tơ cùng phương với vectơ AB được lấy từ 4 điểm ABCD thỏa mãn điểm đầu và điểm cuối khác nhau. 

Ta thấy rằng vectơ AB cùng hướng từ trái sang phải với vectơ DC nên đây là hai vectơ cùng hương với nhau.

Chú ý: Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Từ đó ta có kết luận trong việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Ta có 3 điểm phân biệt A, B,C để chứng minh 3 điểm này thẳng hàng ta sẽ xét tính cùng phương của vectơ AB và AC hoặc AB và BC. Nếu 2 vectơ này cùng phương thì suy ra 3 điểm A,B,C thẳng hàng và ngược lại.

b, Vectơ bằng nhau: Là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài

Ta có vectơ AB có điểm đầu là A điểm cuối là B thì độ dài vectơ AB chính là độ dài của đoạn thẳng AB. 

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó.

Xét hình bình hành ABCD ta có AB=DC, AB//DC và cùng hướng với nhau nên vectơ AB bằng vectơ CD. 

Trong mặt phẳng cho trước một vectơ và một điểm cố định bất kì ta sẽ xác định được một  điểm sao cho vectơ có điểm đầu cho trước và vectơ vừa cho là hai vectơ bằng nhau.

Ví dụ: 

8. Vectơ- không

Là vectơ là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Tính chất:

Vectơ không cùng phương và cung hướng với mọi vectơ

Mọi vectơ không đều bằng nhau

Độ dài của vectơ không luôn luôn bằng không