Lý thuyết phương trình đường tròn

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là :

(x – a)² + (y – b)² = R²

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn  (x – a)² + (y – b)² = R² có thể được viết dưới dạng 

x² + y² – 2ax – 2by +c =0

trong đó c = a² + b²+ c² 

Ngược lại, phương trình x² + y2 – 2ax – 2by + c =0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² –c > 0 . Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính 

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm  I(a;b).Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀

4. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Cách 1:

- Đưa phương trình về dạng: x² + y² – 2ax -2by +c = 0 (1)

- Xét dấu biểu thức: m = a² + b² + c²

- Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R 

Cách 2: 

- Đưa phương trình về dạng (x-a)² + (y-b)² = m² (2)

- Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R = √m

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn

Cách 1:

- Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Chú ý:

- (C) đi qua A, B ⇔ IA² = IB² = R².

- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).

- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂

⇔ d(I, ∆₁) = d(I, ∆₂) = R

Cách 2:

- Gọi phương trình đường tròn (C) là x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (2)

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(x_o;y_o) thuộc đường tròn (C)

- Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)

- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(x_o;y_o) có dạng:

(x_o – a)(x-x₀) + (y_o-b)(y-y_o) = 0

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

5. Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn

Bài tập 1: Cho đường cong (Cm): x² + y² – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn

Lời giải

Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m² + [4(m – 4)]² – ( 18 – m) > 0

<=> m² + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0

<=> 17m² – 255m + 238 > 0

<=> m² – 15m + 14 > 0

<=> m < 1 ᴗ m > 2

Bài tập 2: Cho (Cα) là x² + y² – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn

Lời giải

Để (Cα) là đường tròn ta có: cos²α + sin²α – cos2α > 0

VT = cos²α + sin²α – cos2α

      = 1 – cos2α

      = 2siⁿ²α > 0 (với α ≠ kᴨ)

Chú ý: nếu α = kπ thì đường tròn là 1 điểm

Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0)

Lời giải

Ta có R = IO , mà vecto IO = √2² + √4² = √20

=> Đường tròn © có tâm O(2; 4) và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: (x – 2)² + (y – 4)² = 20

Bài tập 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :

a) x² + y² – 6x +8y +100 = 0   (1)

b) x² + y² + 4x – 6y -12 = 0    (2)

c) 2x² + 2y² – 4x + 8y – 2 = 0  (3)

Giải:

a) (1) có dạng x² + y² – 2ax – 2by +c =0 với a = 3,b = -4, c = 100.

Ta có a² + b² –c = 9 +16 – 100 < 0 .

Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn.

b) (2) có dạng x² + y² – 2ax – 2by +c =0, với a = – 2, b = 3, c = -12.

Ta có x2 + b³ – c = 4 + 9 +12 = 25 > 0 .

Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng

c) Ta có : (3)

⇔ 

Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng √6 

Bài tập 5. Cho phương trình x² + y² – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0      (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ?

b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.

Giải:

a) (1) có dạng x² + y² – 2ax – 2by +c =0  với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.

(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a² + b² – c > 0, mà

 

Bài tập 6. Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau :

a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;

b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).

Giải:

Bài tập 7. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).

Giải:

Xét đường tròn (℘) có dạng x² + y² – 2ax – 2by +c =0.

(℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x² + y² – 6x +y – 1 = 0