Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu hỏi: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trả lời:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

b² = ab’ ; c² = ac’

h² = b’c’

ah = bc

b² + c² = a² (Định lí Pytago)

1/h² = 1/b² +1/c²

Cùng Top lời giải tìm hiểu hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90^o, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) (AB)² = BH.BC hay c² = a.c’

    (AC)² = CH.BC hay b² = a.b’

2) (AH)² = CH.BH hay h² = b’.c’

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) (AB)² + (AC)² = (BC)² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

2. Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định lí 1

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

b² = ab’ ; c² = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

h² = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

1/h² = 1/b² + 1/c²

3. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn

4. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α (hình) được định nghĩa như sau:

+ Nếu α là một góc nhọn bất kỳ thì:

0 < sinα <1; 0< cosα <1, tanα > 0; cotα > 0, sin2α + cos2α = 1; tanα.cotα = 1; tanα = sinα.cosα; cotα = cosα.sinα;

1 + tan2α = 1cos2α; 1 + cot2α = 1sin2α

Chú ý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

+ Với hai góc α,β mà α + β = 90^o

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

+ Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β 

So sánh các tỉ số lượng giác

+ Với α,β là hai góc nhọn bất kì và α < β thì

sinα < sinβ; cosα > cosβ; tanα < tanβ; cotα > cotβ.

5. Ví dụ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài tập

Ví dụ 1: Chứng minh định lí Py-ta-go.

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền a = b’ + c’, do đó

b² + c² =  ab’ + ac’ =  a(b’ + c’)  = a . a = a²

Như vậy, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta cũng suy ra được định lí Py-ta-go.

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Đầu tiên bạn nên vẽ hình.

c = 6 cm; b = 8 cm

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h.

Ta biết độ dài 2 cạnh góc vuông và ta cần tìm h.

Vì thế, ta cần nhớ đến hệ thức lượng liên quan đến đường cao và các cạnh góc vuông, tức là:

1/h² = 1/b² + 1/c²

Thay số vào hệ thức lượng trên ta có:

1/h² = 1/6² + 1/8² = 1/36 +1/64 = 25/576

⇒ h² = 576/25 ⇒ h = 5/24