Cát tuyến là gì? Một số bài tập liên quan

Tổng hợp kiến thức về định nghĩa cát tuyến và một số bài tập liên quan đầy đủ hay nhất. Giúp các em tư duy và vận dụng được kiến thức đã học về cát tuyến. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

I. Định nghĩa về cát tuyến

Cát tuyến là một từ Hán - Việt. Trong đó “Cát” nghĩa là cắt, còn “tuyến” có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)

Theo khái niệm trong sách giáo khoa bộ môn toán, thì cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.

* Một số lưu ý khi làm bài tập về Cát tuyến:

- Hiểu rõ được định nghĩa cát tuyến.

- Áp dụng nhiều tính chất liên quan đến đường tròn nội tiếp tứ giác.

- Sử dụng máy tính cầm tay khi tính toán số đo góc để cho kết quả chính xác

- Sử dụng máy tính cầm tay khi tính toán

- Thường xuyên làm bài tập liên quan cát tuyến.

- Phân biệt cát tuyến với tiếp tuyến.

II. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn (O). ở đây A,B là các tiếp điểm và C nằm giữa M,D.

a) CM: MA.MA=MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR:M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O).CM: A,B,K thẳng hàng

Lời giải:

a) +) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→ MA/MD = MC/MA  (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

→ MA2 = MC.MD (đpcm)

b) +) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 90^o = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) +) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH. MO = MA2 = MC. MD

→ MA/MD= MC/MA → △ MHC ~ △ MDC → góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 90^o - góc MHC = 90^o - góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) +) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn)

mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD)

→ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài tập 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây DI qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là phân giác của góc IKD.

Lời giải:

a) Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và AB giao ID = M

 Nên ta có: MA.MB = MI.MD 

Mặt khác KAOB là tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MK 

Từ đó suy ra MO.MK = MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp. 

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD. 

Ta có IO = OD = R = OKI = KD 

Suy ra KO là phân giác của góc IKD.

Bài tập 3: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O), kẻ các tiếp tuyến KA,KB và kẻ cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I. Chứng minh CI ⊥ OB.

Lời giải:

Ta có HI // BD = góc CHI = góc CDB . 

Mặt khác , góc CAB = góc CDB ( cùng chắn cung CB ) 

Nên suy ra góc CHI = góc CAB hay AHIC là tứ giác nội tiếp . 

Do đó góc IAH = góc ICH → góc BAH = góc ICH . Mặt khác ta có A , K , B , O , H cùng nằm trên đường tròn đường kính KO Nên góc BAH = góc BKH 

 Từ đó suy ra góc ICH = góc BKH = CI // KB . 

Mà KB vuông góc OB ⇒CI vuông góc OB