3 dạng toán thường gặp về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Hướng dẫn giải các dạng toán thường gặp về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b đầy đủ hay nhất. Giúp các em tư duy và vận dụng được kiến thức đã học về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng

Tên và cách định nghĩa hệ số góc của đường thẳng dựa trên góc tạo bởi đường thẳng đó với trục hoành Ox₁.

a. Định nghĩa 1

Hệ số góc của đường thẳng y=ax+b với a khác 0 là hệ số của góc tạo thành khi đường thẳng cắt trục hoành xOx tại một điểm và hợp với trục hoành xOx tạo thành một góc. Vì a trong phương trình hàm số có liên quan đến góc này nên a được gọi là hệ số góc của đường thẳng| 

y = ax + b.

- Khi a>0 thì góc tạo thành là góc nhọn và nằm bên trái trục tung Oy 

- Khi a<0 thì góc tạo thành là góc tù và nằm bên phải trục tung Oy 

- Khi a=0 ta không có hệ số góc vì lúc này, đường thẳng song song với trục hoành

b. Định nghĩa 2

Đường thẳng không song song với trục tung có hệ số góc (slope) miêu tả độ dốc của đường thẳng và được định nghĩa là tỷ lệ sự thay đổi theo y so với sự thay đổi theo x của hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng.

Nếu đường thẳng qua hai điểm (x₁, y₁) và (x₂, y₂) thì hệ số góc của đường thẳng được tính bằng công thức (x₁ khác x₂):

* Cách tính hệ số góc

Dạng tổng quát của đường thẳng y: Ax + By + C = 0

Nếu B≠0 thì ta chuyển đường thẳng y về dạng như sau: y = ax + b ⇔ ABx + y + CB = 0 ⇔y = −ABx − CB

Khi đó hệ số góc của đường thẳng y là a = −AB.

Cách tính góc α tạo bởi đường thẳng  y=ax+b và chiều dương trục Ox

2. Các dạng toán thường gặp về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp:

Đường thẳng d có phương trình y=ax+b(a≠0) có a là hệ số góc.

Dạng 2: Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d.

Phương pháp:

Gọi α  là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có: a=tanα

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc

Phương pháp:

Gọi phương trình  đường thẳng cần tìm là y=ax+b(a≠0)

Dựa vào lý thuyết về hệ số góc để tìm a. Từ đó, sử dụng dữ kiện còn lại của đề bài để tìm b

3. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho các điểm và nằm trên đường thẳng có hệ số góc là . Tìm giá trị của m

Lời giải:

Đường thẳng d có hệ số góc là m có nên có dạng: (d): y = mx + n, A và B là hai điểm thuộc đường thẳng d nên ta có:      

Câu 2: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x₁; y₁) và có hệ số góc bằng a thì đường thẳng đó có phương trình là 

y - y₁ = a(x - x₁)

Lời giải

Đường thẳng d có hệ số góc là a nên có dạng là (d):y = ax + b (d) đi qua điểm A(x₁; y₁) 

nên y₁ = ax₁ + b ⇒ b = y₁ - ax₁ 

Do đó: (d):y = ax + (y₁ - ax₁) hay (d): y - y1 = a(x - x₁) (đpcm)

Câu 3: Cho hàm số y = mx+(2m+1) (1) 

Với mỗi giá trị của m∈R, ta có một đường thẳng xác định bởi (1) . Như vậy, ta có một họ đường thẳng xác định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của mm, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm đó. 

Lời giải:

Chứng minh họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó.

Giả sử điểm A(x₀;y₀) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi mm.

Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1).

Với mọi m, ta có: y₀ = mx₀ +(2m+1) ⇔ (x₀+2)m + (1−y₀) = 0

Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của mm nên tất cả các hệ số phải bằng 0.

Suy ra:

x₀ + 2 = 0⇔ x₀ = −21 − y₀ = 0 ⇔ y₀ = 1

Vậy A(−2;1) là điểm cố định mà họ đường thẳng y = mx + (2m+1) luôn đi qua với mọi giá trị m.