Bài tập vận dụng tỉ số lượng giác

Tổng hợp “Bài tập vận dụng tỉ số lượng giác” cùng với kiến thức tham khảo là tài liệu cực hay và bổ ích giúp các bạn học sinh ôn tập và tích luỹ thêm kiến thức bộ môn Toán 9.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Bài giải:

Ta có: AC = 0,9m = 9dm; BC = 1,2m = 12dm

Theo định lí Pitago, ta có:

Vậy:

SinB = AC/ AB = 9/ 15 = 3/ 5

CosB = BC/ AB = 12/ 15 = 4/ 5

TanB = AC/ BC = 9/ 12 = 3/ 4

CotB = BC/ AC = 12/ 9 = 4/ 3

Vì ∠A và ∠B là hai góc phụ nhau nên suy ra:

SinA = CosB = 4/ 5

CosA = SinB = 3/ 5

TanA = CotB = 4/ 3

CotA = TanB = 3/4

Bài tập 2: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 độ: sin 60 độ, cos 75 độ, sin 52 độ 30′, cotg 82 độ, tg 80 độ.

Bài giải:

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60 độ + 30 độ = 90 độ nên sin 60 độ = cos 30 độ

Vì 75 độ + 15 độ = 90 độ nên cos 75 độ = sin 15 độ

Vì 52 độ 30′ + 37 độ 30′ = 90 độ nên sin 52 độ 30’= cos 37 độ 30′

Vì 82 độ + 8 độ = 90 độ nên cotg 82 độ = tg 8 độ

Vì 80 độ + 10 độ = 90 độ nên tg 80 độ = cotg 10 độ

Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính

a) M = sin² 15⁰ + sin² 25⁰ + sin² 35⁰ + sin² 45⁰ + sin² 55⁰ + sin² 65⁰ + sin² 75⁰

b) N = 4cos² α - 3sin² α với cosα = 4/7

Bài giải:

a) M = sin² 15⁰ + sin² 25⁰ + sin² 35⁰ + sin² 45⁰ + sin² 55⁰ + sin² 65⁰ + sin² 75⁰

         = (sin² 15⁰ + sin² 75⁰) + (sin² 25⁰ + sin² 65⁰ ) + (sin² 35⁰ + sin² 55⁰) + sin² 45⁰

         = (sin² 15⁰ + cos² 15⁰) + (sin² 25⁰ + cos² 25⁰ )+(sin² 35⁰ + cos² 35⁰ ) + sin² 45⁰

         = 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2

b) N = 4cos² α - 3sin² α với cosα = 4/7

sin² α + cos² α = 1 ⇔ sin² α = 1 - cos² α = 1 -(4/7)2 = 33/49

N = 4cos² α - 3sin² α = 4.16/49 - 3.33/49 = (-5)/7

Bài tập 4: Một học sinh dùng kế giác, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt thước ngắm cao bằng mắt của mình để xác định góc "nâng" (góc tạo bởi tia sáng đi thắng từ đỉnh cột cờ với mắt tạo với phương nằm ngang). Khi đó, góc "nâng" đo được 31". Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Tính chiều cao cột cờ (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

A. 6,0m.

B. 16,6m.

C. 7,5m.

D. 5,0m.

Đáp án đúng: C. 7,5m.

Bài giải:

Ta có hình vẽ như sau:

Theo bài ra ta có: AD = 10m, CD = 1,5m, góc "nâng" ∠BCH = 31° (với H là

hình chiếu vuông góc của C lên AB).

Vì ADCH là hình chữ nhật nên CH = AD = 10m, AH = CD = 1,5m. 

Xét tam giác vuông BCH có: BH = CH. tan 31° 10. tan 31° (m).

Vậy Chọn C.

Bài tập 5: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34 độ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34 độ.

Bài giải:

Tam giác ABC vuông tại A có góc C = 34 độ.

Khi đó:

Sin 34 = Sin C = AB/ CB

Cos 34 = Cos C = AC/ CB

Tan 34 = Tan C = AB/ AC

Cotg 34 = Cot C = AC/ AB

Bài tập 6: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

Bài giải:

a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

= cos² = cos² α(cos² β + sin² β) + sin² α

= cos² α.1 + sin² α

= 1

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

    = 2(1 - 2sinα.cosα ) - (1 + 2sinα.cosα ) + 6sinα.cosα

    = 1 - 6sinα.cosα + 6sinα.cosα

    = 1

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

    = (tan² α - 2 tanα.cotα + cot² α) - (tan² α + 2 tanα.cotα + cot² α )

    = -4 tanα.cotα

    = -4.1 = -4

Bài tập 7: Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 21°. Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)

A. Tàu lặn xuống độ sâu 104 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 260 (m)

B. Tàu lặn xuống độ sâu 109 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 270 (m)

C. Tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m)

D Tàu lặn xuống độ sâu 119 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 290 (m)

Đáp án đúng: C. Tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m)

Bài giải:

Coi mặt biển là một mặt phẳng, theo đề bài ta có hình vẽ minh họa:

Trong hình vẽ ta có:

+) Đoạn AC là quãng đường tàu di chuyển trong quá trình lặn,

+) Đoạn BC là độ sâu mà tàu lặn được.

+) Đoạn AB là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí xuất phát tới vị trí

của tàu sau khi lặn.

+) α là góc tạo bởi quãng đường tàu chuyển động và mặt biển.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có:

 => AB = AC. cos α = 300.cos21^o = 280 (m)

Vậy tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m).

 => Chọn C.