Cách tính diện tích quạt tròn, chu vi và bài tập vận dụng liên quan

Hướng dẫn Cách tính diện tích quạt tròn, chu vi và bài tập vận dụng liên quan đầy đủ, chi tiết nhất, bám sát nội dung SGK Toán lớp 9, giúp các em ôn tập tốt hơn.

I. Cách tính Diện tích hình quạt tròn

Gọi S là diện tích hình quạt thì công thức tính diện tích hình quạt tròn có 2 biểu thức:

– Công thức tính:

– Trong đó:

• S là diện tích hình quạt tròn
• R là bán kính của đường tròn, như trong hình thì R = OA = OB
• ℓ là chiều dài cung, theo hình thì ℓ có độ dài bằng cung AB.

II. Công thức tính chu vi hình quạt tròn

Chu vi hình quạt tròn được tính bằng tổng giữa hai lần độ dài bán kính hình tròn với độ dài cung tròn được chắn bởi hai bán kính tạo hình quạt tròn:

P = 2.R + l

Trong đó:

• P: Chu vi hình quạt tròn.
• R: Độ dài bán kính hình tròn.
• l: Độ dài cung tròn được chắn bởi hai bán kính tạo hình quạt tròn.

III. Bài tập vận dụng 

Bài 1.

Diện tích hình vành khăn giới hạn giữa hai đường tròn (O ; 2cm) và (O ; 4cm) là :

(A) 2π;           (B)4π;         (C) 12π ;                   (D)16π.

Bài 2.

Từ điểm c ở ngoài (O ; R) sao cho OC = 2R, kẻ tiếp tuyến CA, CB của đường tròn (O) (B, A là tiếp điểm). Tia oc cắt (O) tại D.

a) Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài hình tròn (O ; R).

b) Tính diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 3.

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại c với đường tròn cắt AB, AD kéo dài lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh AB.AE = AD.AF.

b) Tính diện tích phần tam giác AEF nằm ngoài đường tròn (O), biết AB = 6 và AD = 6√3..

Bài 4.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn. Dây PP’ cắt OM tại N và cắt OA tại B.

a) Chứng minh rằng : OA.OB = OM.ON = R².

b) Chứng minh tứ giác POMA nội tiếp được trong đường tròn. Khi điểm M di chuyển trên d thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác POMA chuyển động trên đường cố định nào ?

c) Cho góc PMP’ = 60° và R = 8, tính diện tíeh phần mặt phẳng giới hạn bởi MP, MP’ và cung lớn PP’.

Bài 5.

Trong một hình tròn diện tích s lấy 2009 điểm. Chứng minh rằng luôn tìm được ba điểm tao thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn S/1000.

Bài 6.

Người ta chia 2 cạnh kề của một hình vuông cạnh a thành n phần bằng nhau. Từ các điểm chia, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông sẽ thu được n² hình vuông. Vẽ các hình tròn nội tiếp của các hình vuông này và tô màu chúng. Chứng minh rằng diện tích phần hình vuông không tô màu không phụ thuộc vào n.

Trả lời:

Bài 1

Chọn (C).

Bài 2

a) Diện tích hình quạt AOB là:

Diện tích tứ giá c AOBC là:

Vậy diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài hình tròn tâm O là :

 b) Tam giác BDO là tam giác đều, D là tâm đường tròn nội tiếp, mà BI⊥ DO nên I là trung điểm của DO.

Vậy diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC là 

Bài 3

a) Vì tam giác ACF vuông tại C, CD là đường cao nên AC² = AD AF.

Vì tam giác ACE vuông tại C, CB là đường cao nên AC² = AB.AE.

Suy ra AD.AF = AB.AE.

b) Gọi diện tích tam giác AEF là S₁, diện tích phần hình tròn nằm trong tam giác AEF là S2, diện tích phần tam giác AEF nằm ngoài đường tròn (O) là S. Ta có :

Bài 4

Hướng dẫn :

a) – Chứng minh MO là đường trung trực của PP’.

– Chứng minh ∆OBN và ∆OAM đồng dạng.

– Chứng minh OA.OB = OM.ON.

- Chứng minh OM.ON = OP² = R².

– Suy ra điều cần chúng minh .

b) – Chứng minh góc OPM = góc OAM để suy ra tứ giác POMA nội tiếp được trong đường tròn.

– Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tử giác POMA thì HO = HA, mà A, O cố định, suy ra H chạy trên đường trung trực của OA.

c) – Diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi MP, MP’ và cung lớn PP’ bằng tổng diện tích tứ giác OPMP’ và hình quạt ứng với cung lớn PP’.

Bài 5

Chia hình tròn thành 1004 hình quạt, mỗi hình quạt có diện tích S/1004 . Giả sử không có hình quạt nào chứa 3 điểm thì 1004 hình quạt chứa nhiều nhất 2008 điểm (trái giả thiết). Vậy phải có một hình quạt chứa 3 điểm. Ba điểm này là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn diện tích hình quạt. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6

Diện tích mỗi hình tròn nhỏ là:

Do đó diện tích n² hình tròn nhỏ là πa²/4 .

Diện tích của hình vuông là a².

Diện tích phần hình vuông tô màu là  

Vậy diện tích phần hình vuông không tô màu phụ thuộc vào n.