Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì?

Hàm số chẵn, hàm số lẻ được đưa vào giảng dạy từ chương trình đại số lớp 10 và có ứng dụng vào giải các bài toán hàm số ở lớp 12. Chúng là những hàm số nhận trục đồ thị làm trục đối xứng. Vậy để tìm hiểu rõ hơn Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì?, cùng Top lời giải đến ngay bài viết dưới đây nhé!

1. Định nghĩa

Trước hết hiểu một cách trực quan thì hàm số chẵn và hàm số lẻ là có đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng (chẵn) hoặc đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng (lẻ).

Do đó tập xác định của chúng cũng phải đối xứng qua điểm x=0. Tức là với mọi số thuộc tập xác định của hàm số thì số đối của nó cũng thuộc tập xác định của hàm số.

Chẳng hạn:

Tập số (−1;1) đối xứng qua điểm x=0.

Tập số [−1;1) không đối xứng qua điểm x=0.

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị thì nó phải có một ” người anh em” phía bên kia trục tung là điểm (-x;f(−x)) và dĩ nhiên f(−x)=f(x).

Vậy điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn là

∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=f(x)

Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị  thì nó phải có “một người chị em” đối xứng qua gốc tọa độ là điểm (−x;f(−x)).

Vì hai điểm đó đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nên f(−x)=−f(x).

Vậy điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn là

∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=−f(x)

>>> Tham khảo: Tập xác định của hàm số y = tan2x

2. Các tính chất

* Tính duy nhất

Nếu một hàm số vừa chẵn và vừa lẻ, nó bằng 0 ở mọi điểm mà nó được xác định.

Nếu một hàm là lẻ thì giá trị tuyệt đối của hàm đó là một hàm chẵn.

* Cộng và trừ hàm số chẵn lẻ

- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.

- Tổng của hai hàm lẻ là hàm lẻ.

- Hiệu của hai hàm lẻ là hàm lẻ.

- Hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn.

- Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ thì không chẵn cũng không lẻ, trừ khi một trong các hàm ấy bằng 0 trên miền đã cho.

* Nhân và chia hàm số chẵn lẻ

- Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn.

- Tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.

- Tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.

- Thương của hai hàm chẵn là một hàm chẵn

- Thương của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.

- Thương của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.

* Hàm hợp (tích ánh xạ)

- Hàm hợp của hai hàm chẵn là hàm chẵn.

- Hàm hợp của hai hàm lẻ là hàm lẻ.

- Một hàm chẵn hợp với một hàm lẻ là hàm chẵn.

- Hàm hợp của bất kỳ hàm nào với một hàm chẵn là hàm chẵn (nhưng điều ngược lại không đúng).

>>> Tham khảo: Tập xác định của hàm số y=cotx

3. Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số

* Đồ thị hàm số

Như chúng ta đã biết, đồ thị hàm số chẵn (lẻ) đối xứng qua trục tung (gốc tọa độ) nên ta có thể nhận dạng thông qua việc quan sát đồ thị hàm số.

* Dùng định nghĩa

Thông thường để sử dụng định nghĩa ta chia làm hai bước như sau:

−Đầu tiên ta  kiểm tra tập xác định của hàm số có đối xứng hay không. Nếu tập xác định đối xứng ta tiến hành bước thức hai. Nếu tập xác định không đối xứng thì ta kết luận rằng hàm không chẵn không lẻ.

−Bước thứ hai ta biến đổi biểu thức f(-x) nhằm so sánh với biểu thức f(x). Nếu hai biểu thức đồng nhất ta kết luận đó là hàm số chẵn. Còn hai biểu thức đối nhau ta kết luận đó là hàm số lẻ. Không so sánh được ta tìm một giá trị x để f(x) và f(-x) không đối cũng không bằng nhau và từ đó kết luận.

* Xét tính chẵn lẻ

Bước 1: Tìm tập xác định: D

Nếu ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x)

Bước 3: Xét dấu (so sánh f(x) và f(-x))

- Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số f chẵn

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số f lẻ

- Trường hợp khác: hàm số f không có tính chẵn lẻ

---------------------------------------------

Vậy là bên trên Top lời giải đã cùng các bạn đi tìm hiểu định nghĩa Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì?. Đây là một phần nội dung vô cùng quan trọng và được đưa vào bài thi tốt nghiệp. Hy vọng bài viết sẽ cung cấp cho các bạn học sinh lớp 12 hay những bạn đang ôn thi THPTQG thêm một cách để giải quyết các bài toán hàm số một cách nhanh nhất có thể. Chúc các bạn học tập thật tốt!