Định lý hàm cosin trong tam giác và bài tập vận dụng hay nhất

Ta phát biểu định lý cosin sau đây: “Trong một tam giác phẳng, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.” Để biết nhiều hơn về định lý hàm cosin trong tam giác và những bài tập vận dụng, Toploigiai mời các bạn đi tìm hiểu cùng chúng mình nhé!

1. Định lý hàm cosin trong tam giác

Phát biểu định lý cosin

Trong tam giác, ta phát biểu định lý cosin sau đây:

“Trong một tam giác phẳng, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.”

Công thức định lý hàm số cosin

Ta xét tam giác ABC có độ dài như sau: BC = a, AC = b, AB = c, các góc tương ứng: góc A = , góc B = , góc C = , ta có:

Nhận xét: Trong một tam giác phẳng, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được độ dài cạnh còn lại hoặc tính góc khi biết 3 cạnh của tam giác.

Trường hợp tổng quát của định lý hàm số cosin là định lý Pitago.

Với công thức trên, nếu tam giác ABC vuông thì ta có:

- Tam giác ABC vuông tại A, cosa (A) = 0 → a² = b² + c²

- Tam giác ABC vuông tại B, cosb (B) = 0 → b² = a² + c²

- Tam giác ABC vuông tại C, cosy (C) = 0 → c² = a² + b²

Chứng minh định lý hàm số cos

Có nhiều cách để chứng minh định lý có thể kể đến nhứ:

- Sử dụng công thức tính khoảng cách

- Sử dụng công thức lượng giác

- Sử dụng định lý Pytago

- Sử dụng định lý Ptolemy

Ở đây, để dễ dàng nhất ta nên sử dụng định lý Pytago, cách làm sẽ như sau:

Xét tam giác ABC là tam giác nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c, kė AH vuông góc với BC tại H, AH = h, HC = d.

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

h² = c²-(a-d)²=c²–a²+2ad-d² (1)

Xét tam giác vuông ACH, áp dụng Pytago ta có:

h²=b²–d²(2)

Từ (1) và (2) ta được:

c²–a²+2ad-d²=b²–d²(3)

c²=a²+b²-2ad

Với d = bcosC:

c²=a²+b²-2abcosC

Với d = bcosC thế vào (3) ta được điều phải chứng minh!

Hệ quả của định lý cos

CosA = b² + c² – a²2bc

CosB = c² + a² – b²2ca

CosC = a² + b² – c²2ab

Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng: “Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh.”

Vậy nếu định lý cosin cho phép tính các cạnh thì hệ quả của nó cho phép tính góc trong tam giác. Có thể áp dụng chúng vào một bài toán khá quen thuộc: “Lập công thức đường trung bình trong tam giác”.

>>> Tham khảo: Cách đổi từ Sin sang Cos

2. Bài tập vận dụng hay

Bài 1: Cho tam giác ABC có 

a. Tính BC.

b. Tính BC .

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC có cách cạnh 

a. Tính cosA và góc A.

b. Tính cosA và góc A .

Hướng dẫn giải:

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 5cm và 

a. Tính BC?

b. Tính BC ?

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Một ô tô muốn đi từ địa điểm H đến địa điểm G, nhưng giữa H và G là một ngọn núi cao nên ô tô phải đi thành 2 đoạn từ H lên K (ô tô leo dốc lên núi) và từ K đến G (ô tô xuống núi). Các đoạn đường tạo thành tam giác HKG với HK = 15km, KG = 20km và góc HKG =120^o

a. Giả sử cứ chạy 1 km, xe hơi tiêu thụ hết 0,3 lít xăng. Giá thành xăng lúc bấy giờ là 13050 đồng một lít xăng .a, Ô tô đi từ H đến G hết bao nhiêu tiền xăng ?

b. Nếu người ta đào một đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ H đến G thì xe hơi chạy trên con đường mới này tiết kiệm ngân sách và chi phí được bao nhiêu kinh phí đầu tư ?

Hướng dẫn giải:

a, Tổng quãng đường mà xe hơi phải đi là :

S = HK + KG = 15 + 20 = 35 km

Ô tô đi hết quãng đường tiêu thụ hết số lít xăng là :

35. 0,3 = 10,5 lít

Ô tô đi từ H đến G hết số tiền xăng là :

10,5. 13050 = 137025 đồng

b, Ô tô đi thẳng từ H đến G

Áp dụng định lý Cô-sin vào tam giác HKG ta có :

Do đó xe hơi phải đi quãng đường là 5 √ 37 km và tiêu thụ hết số lít xăng là :

 

Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = 2√3, AB =√6, AC = 2√2. AD là tia phân giác của góc BAC. Tính góc BAD

A. 60°

B. 90°

C. 45°

D. 75°

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả định lý Cô-sin trong tam giác ABC, ta có :

Do AD là phân giác của góc 

Đáp án A

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và tanA = 2√2. 

A. 4√2

B. 3√2

C. √33

D. √17

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

>>> Tham khảo: Tập xác định của hàm số y=cosx là?

---------------------------

Trên đây, Toploigiai đã giải đáp cho các bạn về Định lý hàm cosin trong tam giác và bài tập vận dụng hay nhất và cung cấp thêm kiến thức bổ sung. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có kiến thức hữu ích khi đọc bài viết này, chúc các bạn học tốt và có thật nhiều kiến thức bổ ích để chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.