6 cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng

Trung điểm là 1 khái niệm rất quen thuộc của các bạn học sinh trung học phổ thông. Làm cách nào chứng minh được trung điểm của một đoạn thằng? Hãy cùng Toploigiai đến với 6 cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng dưới đây nhé.

I. Trung điểm là gì?

Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau .

Ví dụ : Trung điểm C của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (CA = CB ) .

II. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ: M là trung điểm của đoạn thẳng OP. Vậy MO = MP.

>>> Xem thêm: Trung điểm của đoạn thẳng

III. 6 cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng

1. Cách chứng minh trung điểm theo định nghĩa

– Cách chứng minh: Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh cùng lúc ấy M nằm giữa A, B và MA + MB.

– Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C,D sao cho (AC=BD=3cm. Chứng minh M là trung điểm CD.

2. Cách chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác

Phương pháp: Để chứng minh theo cách này thì trước hết tất cả chúng ta cần nắm vững các đặc thù tương quan đến trung điểm trong tam giác .

Cho tam giác ABC với M, N, P. lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó :

+ AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .

+ 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

+ 3 đoạn thẳng MN, NP, PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

- Tính chất trọng tâm : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG, BG, CG lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB. Suy ra :  

- Đường trung bình tam giác : Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng ½ cạnh đáy tương ứng .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC .

3. Cách chứng minh dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt 

– Cách chứng minh: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một vài tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:

+ Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.

Cho hình thang ABCD hai đáy là AB,CD. Khi đó MN được gọi là đường trung bình của hình thang 

  và M,N là trung điểm của AB,BC

+ Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Đường chéo hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD với hai đường chéo AC,BD . Khi đó AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đoạn.

***Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên

– Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

4.  Cách chứng minh dựa vào tính chất của đường tròn 

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn. 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB⊥MN⇒ AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại , nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB⊥MN

Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn O. Tiếp tuyến tại A và B của ( O ) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của ( O ). P. nằm giữa M và Q. song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm PQ

Đề chứng minh trung điểm liên quan đến đường tròn

5. Cách chứng minh dựa vào đối xứng trục

– Cách chứng minh: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.

6. Cách chứng minh dựa vào tính chất đối xứng tâm

– Cách chứng minh: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

--------------------

Trên đây là 6 cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng hay nhất do Toploigiai sưu tầm và biên soạn. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn trong quá trình làm bài tập. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết này. Chúc các bạn học tốt.