Chứng minh 3 vectơ đồng phẳng

Để chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong hai cách: Chứng minh các giá của ba véc-tơ cùng song song với một mặt phẳng. Dựa vào điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng. Vậy để hiểu rõ về cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng mời bạn đọc cùng theo dõi nội dung bài viết dưới đây với chúng mình nhé!

1. Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

* Định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB^→ và đọc là "vectơ AB". Để vẽ vectơ AB^→ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.

Vectơ còn được kí hiệu là: a^→, b^→, x^→, y^→, … khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

>>> Xem thêm: Thế nào là hai vecto cùng phương

2. Quy tắc về vectơ

- Quy tắc 3 điểm : 

Hoặc: 

- Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành ABCD

- Quy tắc trung tuyến: AM là trung tuyến của tam giác ABC thì: 

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC thì 

- Quy tắc hình hộp: cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ thì : 

3. Sự đồng phẳng của các vectơ, điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng

Định nghĩa: ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

- Định lí 1: Cho ba véctơ a^→, b^→, c^→, trong đó véctơ  a^→, b^→ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ a^→, b^→, c^→ đồng phẳng là có các số m,n sao cho 

Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

- Định lí 2: Nếu a^→, b^→, c^→,là ba véctơ không đồng phẳng thì với mỗi véctơ d^→ ta tìm được các số m,n,p sao cho 

Hơn nữa các số m,n,p là duy nhất.

4. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng  

* Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R:

 thì 3 vectơ  a^→, b^→, c^→ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ x^→ theo ba vectơ a^→, b^→, c^→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:

>>> Xem thêm: Cách tìm vectơ chỉ phương của mặt phẳng

5. Bài tập chứng minh 3 vectơ đồng phẳng

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.

a)  Hãy biểu diễn vectơ IJ^→ theo 3 vectơ AB^→, AC^→, AD^→

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hãy biểu diễn vectơ AG^→ theo 3 vectơ AB^→, AC^→, AD^→

Bài tập 2: cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS^→ = -2MA^→ và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB^→ = ½ NC^→. Chứng minh rằng 3 vecto AB^→, MN^→, SC^→ đồng phẳng

Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . chứng minh rằng 3 véc- tơ  BC^→, AD^→, MN^→

đồng phẳng

Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABB'A' và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC'A. Biểu thị vectơ BD^→  theo 2 vectơ  IK^→ và C'B'^→ từ đó suy ra ba vectơ BD^→, IK^→, C'B'^→ đồng phẳng.

Lời giải:

Bài tập 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH. Gọi K là giao điểm AH và DE, I là giao điểm của DF và BH. Chứng minh rằng ba vectơ AC^→, KI^→ và FG^→ đồng phẳng

Bài tập 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’B’, B’C’, BC, CC’. Chứng minh rằng :

Ba vecto MN^→, PQ^→, RS^→ đồng phẳng trong đó I là tâm của hình bình hành ABB’A’ và K là tâm của hình bình hành ADD’A.

Bài tập 7. Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS^→ = 2MS^→ và trên đoạn thẳng BC lấy điểm N sao cho NB^→ = ½NC^→ . Chứng minh ba vectơ AB^→, MN^→, SC^→ đồng phẳng

Bài tập 8. Cho tứ diện ABCD : P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hai điểm M, N lần lượt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng một tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên một mặt phẳng.

--------------------

Bài viết này Toploigiai đã cùng các bạn tìm hiểu cách chứng minh 3 vectơ đồng phẳng và cung cấp kiến thức về cách chứng minh và bài tập vận dụng. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có kiến thức hữu ích khi đọc bài viết này, chúc các bạn học tốt!